Analytische Anwendungen der Infinitesimalrechnung.

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mau die größte oder die kleinste Ordinate eines dieser Schnitte, jenachdem A 0. Die Gleichung p> = 0 stellt also den Ort der Maximal-und Minimalordinaten dar; diese bilden einen ebenen oder nicht ebenenSchnitt der Fläche, der von den Gleichungen dZ=qdu , p = 0 be-stimmt wird. Die Maximal- und Minimalordinaten der Fläche stimmenmit denjenigen dieses Schnittes überein; diese aber werden durch dieGleichung q = 0 gegeben. Aus p = 0 folgt:

und daher:

dp = Adt + Bdu = 0,

j AC—B *

dq = du,

so daß man ein Maximum oder ein Minimum hat, je nachdem:

ist. Die Bedingungen für ein Maximum oder Minimum sind also:

1 5 o, c$

oder:

(5) AC>B 3 .

Wollte man mit u anstatt mit t anfangen, so würde man erhalten:

C<> 0, AC>B\

welche, zusammen mit (5), die Bedingungen (1), (2) wiedergeben.Der Fall von mehr als zwei Veränderlichen ließe sieh analog

o

behandeln. *)

Die Arbeit Lagranges hatte, wie es scheint, keinen großen An-klang; wenigstens finden wir, in den 20 darauffolgenden Jahren, keineauf denselben Gegenstand bezügliche Schrift. Erst 1779 veröffent-lichte G. F. Fagnano eine Abhandlung 2 ), in welcher er einige Maxi-mal- und Minimalaufgaben sowohl durch die Differentialrechnung alsdurch die reine Geometrie behandelte. Es sind folgende:

a) Einen Punkt D innerhalb eines Dreiecks ABC derart zu be-stimmen, daß ])A + DB + DC ein Minimum wird.

') Einige Anwendungen der Theorie der Extremwerte finden sich in derAbhandlung von Lagrange: Solutions analytiques de quelques pro-blemes sur les pyramides triangulaires, Nouv. Mdm. Berlin 1773;Oeuvres III, 1869, p. 661—692. *) Probl emata quaedam ad methodum

maximoruui et minimoruin spectantia, Xova Acta Erudit. 1775 (publ.1779), p. 281—303.