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Abschnitt XXVI.

hj Einen Punkt D innerhall) eines Dreiecks ABC derart zu be-2 2 2

stimmen, daß I)A + DB' -j- ])(’ ein Minimum wird.

c) Einen Punkt K innerhalb eines Vierecks ABCD derart zubestimmen, daß EA -(- EB + T. (' -f- ET) ein Minimum wird.

d) In ein spitzwinkliges Dreieck das Dreieck von kleinstem Um-fang einzuschreiben.

e) Bezeichnen C, F, f den Mittelpunkt und die Brennpunkteeiner Ellipse, so soll ein Punkt X des Umfanges derselben derartbestimmt werden, daß die Differenz der Winkel CXF, CXf ein Maxi-mum wird.

Diese Probleme gehören sämtlich, mit Ausschluß des letzten, derTheorie der Maxima und Minima der Funktionen von mehreren Ver-änderlichen an. DaßFagnano die darauf bezüglichen Untersuchungenvon Euler und Lagrange kannte, ist sehr wahrscheinlich; jedochfolgt er bei der Auflösung seiner Probleme nicht dem von der Diffe-rentialrechnung vorgezeichneten methodischen Weg, sondern er bedientsich in jedem Falle besonderer Kunstgriffe. Aus der Differential-rechnung entnimmt er nur den Grundbegriff der Theorie der Maximaund Minima, in derselben Form, in welcher er schon bei Keplervorkommt (diese Vorl., II 2 , S. 828), daß nämlich in der Nähe einesExtremwertes die Veränderung der Funktion als gleich Null, dieFunktion selbst also als konstant anzusehen ist. Hat er dann miteiner Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen zu tun, sonimmt er zuerst die eine von diesen als konstant an, und sucht den-jenigen Wert der anderen zu bestimmen, für welchen die Variationder Funktion verschwindet, was ihm eine Maximums- oder Minimums-bedingung gibt: er setzt dann die zweite Veränderliche als konstant

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voraus, und verfährt auf ebendieselbe Weise, wodurch er die zweiteBedingung erhält.

Um dem Leser einen genaueren Begriff von Fagnanos Ver-fahren zu geben, wollen wir die Auflösung des ersten seiner Problemeanführen.

Man beschreibe um C mit dem Radius CD einen KreisbogenVDF (Fig. 81), und E sei ein unendlich nahe an 1) liegender Punktdieses Bogens; es muß sein, wegen des Minimumscharakters des PunktesT ) („per minimi naturam“):

DA H- DB F DC = EA + EB + EC,oder, da DC = EC:

DA + DB = EA + EB,

oder auch, wenn man um A, B die Kreisbögen Ed, De zieht:

Dd = Ee.