Analytische Anwendungen der Infinitesimalrechnung.
781
Nehmen wir in > n an, und entwickelnso folgt nach Integration:
z(z — 1) ’ z(z — 1)
; in Reihen,
Es mag hier bemerkt werden, daß die Entwicklung nach fallen-den Potenzen von z im Intervalle 0 < z < 1 nicht konvergiert. Mankann aber, wenigstens für ganzzahlige m und n, dieser Schwierigkeitaus dem Wege gehen wie folgt. Es ist:
Ö O O
m t «1 i (tu _i
n)j-l _|_
z{z — \)
woraus sich durch Integration wiederum ergibt:
(z— 1)
J
0
Ein interessantes Problem der Differenzenrechnung ist folgendes 1 ):Aus der als bekannt vorausgesetzten Summe:
f n {x) = 1" + 2" + • • • + ff"
die Summen:
fl — 1
abzuleiten. Dieses Problem löst Euler auf Grund einer von ihmfrüher aufgestellten Formel, welche den Ausdruck von f n (x) unter derForm einer ganzen rationalen Funktion von x von der (« + 1 ) ten Ord-
X
nung angibt. Man kann allgemeiner aus der Summe ^(>') die
r= 1
Summen ^ j(f(r')dr und <('()') ableiten.
<• = i
r = 1
Man hat oft versucht, die Summe einer Reihe durch ein be-stimmtes Integral auszudrücken, wenn dieses auch manchmal nureine scheinbare Vereinfachung ist, insofern als die Berechnung eines