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Abschnitt XXVI.

bestimmten Integrals nicht selten nur durch Reihenentwicklung ge-schehen kann. Euler 1 ) hat dieses Problem für die Summe:

1 + «i 2 + <*2 2 + ' ' •

h a a -\- b a -f- 2 b a + (/) — l)ib 26 3b hb

gelöst, wo:

(-*;*)-t-*>

ist. Man kann durch Ditferentiation bestätigen, daß:

x a y c = a fx a ~ l if~ b dx — (a + c) / x a + b ~ 1 y c ~ b dx,

wo:

Hieraus folgt:

y = (1 - xfi) b .

1 1J'x a + b ~ 1 y c ~ b dx = ^jx*-

l y c ~ b dx,

und analog:

1 1J“v a + 2b ~ 1 y"~ b dx = c J x a+b ~ 1 y c ~ b dx,

also:

j x a + 2b ~ 1 y c ~ b dx = a . ( x a ~ 1 y c ~ b dx,J J ‘ n-\- ca-\-b -\- c ,1 J '

o u

usw. Setzt man insbesondere c = b — a, und beachtet, daß:

./

x a i y a dx = -— ,

y . . an y

0 sin —b

ein Wert, den wir mit A bezeichnen wollen, so erhält man:

i

J x a+b ' 1 y~ a dx = “ A = r^A,

o

i

J x a + 2b ~ 1 y~ a dx = |- a + 6 A = « 2 A,

usw. Es ist aber:

h Plenior expositio serierum illarum memorabilium, quae exunciis potestatum binomii formantur (1776), Nova Acta Acad. Petrop.VIII, 1790 (publ. 1794), p. 32—68.