Analytische Anwendungen der Infinitesimalrechnung.
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1 A
f x a ~ 1 y~ ia dx = j x a ~ 1 y~ a dx( 1 + a^x? + « 2 £ 2<, + • • •)o o
1 1 1
= l‘x a - 1 y~ a dx + a x f x aJrb ~ l y- a dx + « 2 / x a+ib ~ 1 y- a dx H-,
0 o o
folglich:
i
I x a ~ 1 y~ 3a dx = A(1 + «! ä + « 2 3 + • • •),ö
und hieraus:
i
1 -f- «j 2 + « 2 2 -f- • • • = jxf l y ~ a dx.
o
Die Summen:
1 + «i «i' + a. 2 a 2 ' + ■ • •,a L + «jß/d- « 3 ß..'+ • • •,
«s + «3«/ + a 4 f V + • ’ •>
wo a h '= lassen sich auf analoge Weise berechnen.
Ein Interpolationsproblem führte Euler 1 ) dazu, die Größe:
/•y+ 2 g)y+*«)».-•(/■+a) s (/'+3«) ! (/'+5«) ! "-
durch bestimmte Integrale auszudrücken. Aus:
i i
• x m - x dx
m -j- k m
1 + * + 11
r
x x dx
l
»-*
m
m + n
/
n — k
: 1 — x n )
n
•y
0
7 (i
-x") "
1 *“
a
| k = a
f
und für
a
ab:
' n —
2 a
1 = 2a
fa/-
1 dx
1
+
Ä
)(f+3a)-.-
l
i
r x*
'dx
J l/l-
— X
fif + 2 a) • • •
J
0
Vi-
2 a }
- X
A/ + 0 "
1 dx
(/•+2 n)(/+4 a)--
f x
c dx
! /i-
x 2a
(/ + a ) (f + 3 a) ■ •
0
2 a ’
— X
also:
*) De fractionibus continuis Wallisii ,1780), Mein. Acad. St.-Pet. \,1812 (publ. 1815), p. 24—44.