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Abschnitt XXVI.

i

J

a/ 1 d xYi-x* a

Ebenfalls mit der Differenzen- und Interpolationslehre hängt dieEulersehe 1 ) Formel zusammen:

f(x) + f(x + 1 ) + f(x + -2) + • • ■

cc

=jf(x)dx + \fix) -\Af\x) + \Bf'”{x) - y Cf'-(x) + ...,

wo die Zahlen

ü =

1

945 ’

die nämlichen sind, welche in den Formeln:

1 + T + 9 + • • • = ,

1 + 4 ! + H-- fix 4 ,

1 + 4 3 + 9»' + ' ' ' =

Vorkommen. Eine analoge Formel gilt für die Summe:

f(x) -f{x+l)+f{x + 2) -.

Endlich drückt Euler 2 ) den Binomialkoeffizienten durch

ein bestimmtes Integral aus:

insbesondere ist:

O-

■ xf q d X

1

1

q I x 7 ~ l (l — x)~ 7 dx

ö

sin q 7tqx

h Methodus succincta summas serierum infinitarum per for-mulaa differentiales investigandi (1780), Mem. Acad. St.-Pet. V, 1812(publ. 1815), p. 45 56. *) De unciis potestatum binoinii earumque

interpolatione (1781), Mem. Aead. St.-Pet. IX, 1819—1820 (publ. 1824',p 57—76.