Analytische Anwendungen der Infinitesimalrechnung.

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und analog:also:

_ _ / V , >/* y* , \

_ 11 ^ 4 + T + ' ‘ j ’

es folgt:

( l + T + TT + •••) + (f + \ + ^9 +•••) = C - log * log y.Für x = 1 ist:

y = 0, log x log >/ = 0;n- 1 . 1 i 1 ,

°~T + T + '9 + '""T»

woraus ^13) sich ergibt.

Man kann auf analoge Weise die folgenden Beziehungen finden:

(i + IT* + »x* + •") + (i - '4 + 4,-) = T + lo 8 * lo S^>

wo x — y = 1;

c++.4+■•■)+(f ■-?+?—•)+ a + & +s+• • ■)

+ ({■ - T + -) ” — log* log,* + 7

+(t-:’-+t—•).

WO XIJ + X + y = c.

Auch die Relation:

2 2 8 2 5

, sin co sin co -- sin 3 co sin w 3 + „ sin 5 co sin w 5 — ■ • •

1 o 5

2* 2* o«

= -r cos 2 co sin co 2 — cos 4 co sin <o 4 -)- cos 6« sin o 6 — • • •- 4 ü

wird von EulerM auf Grund der Integralrechnung bewiesen. Esmögen die beiden Seiten durch S bzw. T bezeichnet werden. Setzenwir 2sinw = fc und betrachten wir augenblicklich b, co als vonein-ander unabhängig, so ist:

S =

h sin co

b s sin 3 co3

+

T =

• COS % Z(ü2

CUÖ 4(ü

+

(IS_

clco

= b cos co — b s cos 3w + • • •,

(IT

d co

b 2 sin 2co + b* sin 4ro-,

woraus sich leicht ergibt:

*) De seriebus memorabilibus quibus sinus et Cosinus angulorummultiplorum exprimere licet (1780), Mem. Acad. St.-Pet. V, 1812 (publ.1815), p. 57-72.

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