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Abschnitt XXVI.

(1 -f- 22r cos2gj + ^ 4 ) = i(l + b s ) cos co,

dtu v '

(1 -f 2fr cos 2« + h 4 ) = — l>- sin2w,

d io K '

und durch Integration:

° 1 + b

+ 26 sin cd— 2 5 sin co

T = * log [(1 + Ir + 2b sin w)(l + Ir — 2b sin co)]

also:

T — S = ß log (1 + Ir — 2b sin co),

und durch Einsetzung des Wertes von b:

T=S.

Verschiedene Methoden zur Auswertung von unendlichen Reihendurch Integration wurden von Landen 1 ) und Fontana 2 ) entwickelt.

Transzendenten. Elliptische Integrale.

1. Verschiedene Transzendenten.

Bevor wir auf die elliptischen Integrale kommen, deren Behand-lung beinahe das ganze Kapitel einnehmen wird, wollen wir unsmit einigen anderen Transzendenten von weit geringerer Wichtigkeitbeschäftigen.

Nur wenige Worte werden wir einer Schrift Eulers über un-stetige Funktionen 3 ) widmen. Euler bezeichnet diejenigen Funktionenals „unstetig“, die sich nicht durch einen einzigen analytischen Aus-druck darstellen lassen; so ist z. B. eine Polygonallinie das Bild einerunstetigen Funktion. Nun fragt sich Euler , ob man solche Funk-tionen in der Analysis zulassen darf. Dazu bemerkt er, daß die Inte-gration der partiellen Differentialgleichungen willkürliche Funktioneneinführt, und daß man sich folglich, wenn man alle Lösungen er-

'i A new method of obtaining tbe sums of certain series, Math.Mein. I, p. 67—118. *) Memoria sopra la somma di alcune serie

(das mir zur Verfügung stehende, der Universitäts-Bibliothek zu Pavia an-gehörende Exemplar trägt weder Druekort noch Datum). *) De usu func-tionurn discontinuarum in analysi, Xovi Comm. Acad. Petrop. XI, 1765(publ. 1767), p. 3—27.