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Abschnitt XXVI.

Dieselbe Entwicklung ergibt sich aber auch aus der rechten

Seite von (1), wenn man m = P, n — — X, p = X oder m = — X,

n = P, p = X darin setzt; es ist also:

oder wegen (2):

T = [P]- a m- x = ( P+.Y+l)(P+iX+2) ..l.j...

[P + X']- * [0]- 30 \P + 1 KP + ä) • • • (A + 1) (X + 2) • • ■ ■

Ist insbesondere v = 2, X = -5 , P = — * , so folgt:

1

*

2

1 ■ 1

1 + 2 ■ 3 +

113

2-4-5

2-24-4-1 ■ 3 • 3 ■ 5 - - - ‘

Eine andere merkwürdige Transzendente ist der „Hyperlogarith-

('dx

mus“, wie Masclieroni 1 ) das Integral / ,- nennt. Diese Funktion

’ 1 0 J loga;

entwickelt er für jeden Wert von x in eine konvergente Reihe, und

zeigt, wie man mit Hilfe derselben andere Integrale berechnen kann;

es ist z. B. :

^log log xdx

= x log log x

I dx1 log x

Er versucht auch, x durch

= u auszudrücken; dazu setzt er:

x = A' -f Au -j- ihr -f- • • ■,

und bestimmt die Koeffizienten mit Hilfe der Relation:

1 • - 1 "

du 1 du

C dx

Mascheroni betrachtet auch das Integral /. , , das als

ö J log loga:’

„hypersecundus Logarithmus“ bezeichnet wird.

Adrien Marie Legendre 3 ) verdankt man die Einführung indie Analysis der heutzutage ,,Kugelfunktionen“ genannten Polynome:

’) Adnotationes ad Calculum integralem Euleri etc. *) Re-

cherches sur l’attraction des spheroides homogenes, Mem. pres. pardivers savants X, 1785, p. 411—434. — Recherches sur la figure des pla-netes. Hist. Acad. Paris 1784 (publ. 1787), p. 370—389. — Suite des recherchessur la figure des planetes, Hist. Acad. Paris 1789 (publ. 1793), p. 372bis 454