Transzendenten. Elliptische Integrale.

797

dx dy

yA + Cx* ~ \A + Cy-

Da i in (6), nicht aber in (77 vorkommt, so stellt es die will-kürliche Integrationskonstante dar, und (6) ist das vollständige Inte-gral von (7).

Man kann solche Funktionen fix ) finden, daß unter der Voraus-setzung, daß zwischen x und y die Relation (7) besteht, die Gleichung:

CO

f{x)dx _ f(y)dy

Ya + cx i yx+cp

gilt, wo V eine algebraische Funktion von x, y bezeichnet,dann:

r f(x)dx _ r

JVA + Cx* J 1

f3>l d y...YÄ+ Cy

V + const.

Es muß

nur eine veränderte Form der Integralgleichung (67 von (7) sein. Istz. B. fix ) = x s , so ergibt sich:

V = —'- + const.yA

b) Es sei:

a + 2ß(x + !/) + y(x s + y 2 ) + 2öxy = 0;man erhält hieraus:

( 8 )

wo:

dx _ dy _ „X Y ~ ’

X =V(/3 :! — ccy) -)- 2ß(d — y)x + (<5 3 — y 2 )x 2 ,Y =Yiß'-— ay) + 2ß(d — y)y + (<V— y 2 )y 2 .

c) Ist:

« + m x 2 + ny 2 -f 2dxy = 0,so erhält man wieder Gl. (8), wo:

X = R i d 2 — m n)x 2 — an , Y = F^(d 2 mn)y 2 -«»/;

ferner:

(9) f - { % dx - = d r,

wo:

V = — xy für fix) = mx 2 , (pi/f) = >iy 2 ]

V = xy(cc -F dxy) für fix) = wr,r 4 , <p(i/7 = w' 2 // 4 .Hieraus folgt allgemein: