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Abschnitt XXVI

oder:

(2rs - leg).

ag sein, so muß zwischen r, s, k, g die Beziehung

Soll rS

stattfinden, welche zusammen mit (15) und dem soeben angegebenenAusdrucke von g die Werte von r, s, k als Funktionen von g ergibt.Es ist daher möglich, einen Bogen algebraisch zu bestimmen, dessenLänge die Hälfte der Länge eines gegebenen Bogens ist, ein Problem,welches das 1754 vorgeschlagene als besonderen Fall einschließt.

Auf die Integration der nach ihm benannten Gleichung ist Euler noch wiederholt gekommen. 1 )

In einer 1768 erschienenen Schrift 2 ) zeigt Euler , wie man dieDifferentialgleichung:

dy

dx

\'Ä -f Bx -f CaP + Dx‘ -f Ex* j/A + By + Cy* + 1)y* + Ey*~

direkt integrieren kann. Man muß zunächst die ungeraden Potenzenvon x, y abschaffen, wonach die Gleichung die Form:

dy

V A + Cy' + i)y

dx

V A ~-f Cx 1 + Dx*annimmt. Setzt man hier zuerst:

Vm, H = Y \

dann:

fjr = m + j/it 2 — 1

endlich:

u == ü^- C(A + T)p2) + + Dp^sViAD - 0 2 \ ,

so erhält man die durch elementare Funktionen integrierbare Glei-chung :

*) Ein besonderer Fall dieser Gleichung wird integriert in der Schrift:Probleme: Un corps etant attire en raison reciproque quarree desdistances vers deux points fixes donnes, trouver les cas oü la courbedecrite par ce corps sera algebrique. Resolu par M. Euler, llem. Acad.Berlin 1760 (publ. 1767), p. 228—249. *) Integratio aequationis

dx

dy

yA + Bx 4- Cx 8 -f I)x s + Ex* YÄ + By+Cy' + Dy' + Ey*Novi Comm. Acad. Petrop. XII, 1766—1767 (publ. 1768), p. 3—16.