Transzendenten. Elliptische Integrale.

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A — Dp

Die oben angegebene Methode zur Bildung von algebraisch inte-grierbaren Differentialgleichungen von der Form ( 5) oder 18 ) wurdespäter von Euler verallgemeinertD. Er geht von der Integral-gleichung:

(18) « 4- 2 ß (x -f !/) + y(x 2 4 if) 4- 2dxy + 2exy(x + y) + t,x 2 y 2 = 0

aus, und findet eine Differentialgleichung von der gewünschten Form.Da ferner diese 4 Konstanten, (18 ) aber 5 enthält, so ist (18) das voll-ständige Integral. — Interessant sind die Betrachtungen Eulers überdie Möglichkeit weiterer Verallgemeinerungen. Wäre es möglich, dieGleichung (8), wo X 2 ein beliebiges Polynom der sechsten Ord-nung bezeichnen möge, algebraisch zu integrieren, so wäre ins-besondere:

dx duP = Q ’

(DJ)

wo P ein beliebiges Polynom der dritten Ordnung ist, algebraischintegrierbar, was nicht immer stattfindet. Ist X 2 vom fünften Grade,so geht die Gleichung durch die Substitution:

x = fr 4 u, y = v 2 4 u,wo u eine passend gewählte Konstante ist 2 ), in:

d u d vU = T

über, wo U~ ein Polynom vom vierten Grade in u 2 darstellt; wäreaber diese Gleichung stets algebraisch integrierbar, so würde dasselbevon (19) folgen, wenn P ein Polynom vom zweiten Grade in x 2wäre, was nicht immer wahr ist. Also ist (8) nicht im allgemeinenalgebraisch integrierbar, wenn die Ordnung von X 2 vier übertrifft.

Die algebraische Integration ist auch im allgemeinen unmöglich,wenn X eine Wurzelgröße darstellt, deren Index > 2 ist.

TEvolutio generalior formularum comparationi curvarum inser-vientium. Xovi Comm. Acad. Petrop. XII, 176G—1767 (publ. 1768 p. 42—86.

*) Euler sagt einfach, daß man a;* *, y 5 statt x, y setzen muß. — Ist:

X* = A + lix + Cx 2 -f Dx % + Ex* -f Fx\so muß die Konstante a die Bedingung:

A -|- Du -+- Ca 2 4 Da 3 4 Ea* + Fa 5 = 0

erfüllen.

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