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Abschnitt XXVI.

In seiner Integralrechnung 1 ) kommt Euler auf den wichtigenGegenstand wieder zurück. Er bemerkt, daß die von ihm behandelten Glei-chungen dazu geeignet sind, die Vorzüge der Methode des integrierendenFaktors gegenüber derjenigen von der Trennung der Veränderlichenaufs beste zu zeigen; es ist nämlich leicht ersichtlich, daß dasEulersche Integrationsverfahren wesentlich in der Auffindung einesMultiplikators besteht. Es ist aber im allgemeinen nichts wenigerals leicht, zu einer gegebenen Gleichung (51 einen passenden Multi-plikator 31 zu finden. Man kann sich umgekehrt fragen, welcheGleichungen durch einen Multiplikator von gegebener Form integriertwerden können. — Es sei z. B.:

(a + ßx + yy)*’

wo X, Y zwei gleichartige Funktionen von x bzw. y bezeichnenmögen; dann muß:

Ydx -|- Xdy

(« + ß x + vjY

ein vollständiges Differential sein. Integriert man nach x, so findetman:

+ r (y)

ß v“ + ß x + y y)

( 20 )

integriert man dagegen nach y, so ergibt sich:

+ d (*)•

y(a + ßx + yy)

( 21 )

Durch Gleichsetzung der beiden Ausdrücke erhält man:ßX — yY = ßy(a + ßx + yy) {x) - f («/)].

Da, wegen der Form der linken Seite, alle x und y zugleich ent-haltenden Glieder rechts verschwinden müssen, so ist notwendig:

7 O

J (x) = mßx + const., r(y) = myy + const.,

wo m eine konstante Größe bezeichnet, folglich:

X = y [»; ß 2 x i + ß (m a -f- n) x + p],Y = ß [»i y 2 y 8 + y (m a — n) y + q],

wo n, p, q konstante Größen sind, zwischen welchen die Beziehung:

p — q = an

besteht. Durch Einsetzung dieser Ausdrücke in (20) oder in (21)

*) An den S. 796 angeführten Orten.