Transzendenten. Elliptische Integrale. 807
ergibt sich als Integral der betrachteten Gleichung, nach leichten Um-formungen:
mßyxy — 4 [ßx - yy) - f = g (u + ßx + yy),
wo f = p — ^ = q -f- a J l , und g eine willkürliche Konstante ist.
Geht man von komplizierteren Formen von M aus, so erhältman die schon oben behandelten elliptischen Differentialgleichungen.Die Arbeiten Eulers über die Differentialgleichung:
dx dy _ ()
X — Y
erregten die Aufmerksamkeit Lagranges. r ) Ihm schien sonderbargenug, daß eine Differentialgleichung mit separierten Veränderlichen,deren Glieder einzeln nicht algebraisch integrierbar sind, sich nichts-destoweniger algebraisch integrieren ließe; und er wollte die Sachenäher betrachten. Ebenso wie Enler ging er vom einfachstenFalle aus:
(22) dx = -4M= ■
]/l — x 1 }/1 — y i
Das Integral dieser Gleichung ist:
arcsin x = arcsin y + const. = arcsin y + arcsin a\
es läßt sich aber auch auf algebraische Form bringen, denn es folgt,wegen bekannter trigonometrischer Sätze:
(23) a = x ]/l — y 2 — y ]/l — x s .
Es wäre jedoch wünschenswert, zu diesem Integrale auf algebraischemWege direkt zu gelangen. Das läßt sich folgendermaßen erreichen.Man schreibe die Differentialgleichung so:
Y 1 — y 1 dx = |/l — o? dg,
und wende auf beide Seiten die partielle Integration an; man erhältdie Gleichung:
x yr^f + f-*M]L = yyT^+ f x ' jdx + const,
¥ J Jy i-y 8 Jy i -* 8
welche sich wegen (22) auf (23) reduziert.