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Abschnitt XXVI.

Ist die Differentialgleichung:dx

d ’J

V« + ya-* + <5x s + ex* y a + ßy + yy i -f 6 y* + £ y*

gegeben, so verifiziert man leicht durch Differentiation, daß ihrIntegral die Form:

A + B (x + y) + C(x 3 + ;/ 3 ) 4- I)xy + E (x i y + x>f) -j- Fx i y 2 = 0

hat; die Koeffizienten lassen sich durch a, /j, y, 6, e ausdrücken mitAusschluß eines einzigen, der als Integrationskonstante gilt, so daßdie letzte Gleichung das vollständige Integral der gegebenen Diffe-rentialgleichung bildet. Diese Integration ist aber, wie Lagrangesich ausspricht, nur zufällig; er versucht daher, eine direkte Inte-grationsmethode für derartige Gleichungen zu finden. Seine Methodeist auf folgendes Prinzip gegründet.

Liegt eine nicht integrierbare Differentialgleichung erster Ord-nung vor, so differentiiere man sie, und sehe zu, ob es möglichist, aus der gegebenen und der durch Differentiation aus dieser er-haltenen Gleichung eine neue Differentialgleichung erster Ordnungdurch Kombination und Integration abzuleiten; dann liefert die Eli-mination von ^ aus den beiden Differentialgleichungen erster Ord-nung das gesuchte Integral. Ist das nicht möglich, so kann manzweimal differentiieren usw.

Sehen wir zu, unter welchen Bedingungen die Methode auf dieGleichung:

dx dy

yx ~ y y

anwendbar ist, wo X , E zwei gleichartige Funktionen von x bzw. ybezeichnen. Schreiben wir:

dx _ dy _ dt

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yx yr t ’

wo t eine Hilfsveränderliche, T eine Funktion von t ist. Es folgt:

und hieraus durch Differentiation:

2 Td Tdx 2 T t d i xdt 8

dX

dx

2 TdTdy -\-i T t d t yd?

dYd y '

Setzen wir nunmehr:

z + y=I>, x — y = q, dT = Mdp + Ndq ;