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Abschnitt XXVI.

■welche nach Lagrange die allgemeinsten durch seine Methode zuerhaltenden Ausdrücke zu sein scheinen. Das Integral ist nach (28):

)/<J> (2 x) + VW (2;/) = A sin im q

C

m

cos (2 »i}> -f y),

wo H die willkürliche Konstante ist. Setzt mau:

cos2 nix -f i sin 2 mx = u,cos iß + «) = A,cos 2 (y + «) = B,

so folgt:

X = ^,

2 m* 7

wo:

cos 2 m y + i sin 2 m y = v,cos (/! — «) = E,cos 2 (y — u) = F,

Y — -I-

2 e* ’

U = c(B- \/B T - l) + b{A - VA* - 1) u + 2au*

+ b{A + VA*- 1 )u s +c{B + YB 2 - l)« 4 ,V = c (F — VF^- l) + b(E- VE* -1) V'

+ 2a v* + b(E + VE^V) v 3 + c(F + VT*- l)r 4 ,

und die Differentialgleichung nimmt die Form:

du di'

yu = yv

an, welche etwas allgemeiner ist als die frühere, insofern als in der-selben nicht 5, sondern 6 Konstanten Vorkommen * 1 ).

Zwei weitere Integrationsmethoden wurden von Lagrange inseiner Theorie des fonctions analytiques entwickelt.

Man setze wie oben:

P + 9

„ _ P — 5

ferner:

2

j y o

dx

^,

wo:

yx ~

yy

X = « + ßx -f yx* + dx* + sx i , Y = a + ßy - r yy 2 + dt/ 3 + ft/ 4 ;dann ist:

*) Die Konstanten sind zwar 7, nämlich A, B, F, F, a, b, c; aber es findetzwischen ihnen eine Kelation statt. Es ist nämlich:

cos « = A E + y 1 -TZ* yY— E*, cos 2 a = BF + \ 1 — B-folglich:

1 _j- BF + y\ — B*yi — F t = i[AE-\-y-T—~Ä i yi — E*]*.