Transzendenten. Elliptische Integrale.

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Ist EF = und setzt man AF = so hat man analog:

cos M,

cos + sin

usw. Die Gleichung (30) ist mit:

/X*) = f( u ) + f( m )

gleichbedeutend, wo:

'(')-/

r dz _

J }/A + B cos z

0

ist. Man hat dann:

f(y) = f( z ) + /■(»*) = /■(«-) + 0-

fO) =/■(*/) + /■(»») = /■(») + 3 />0>

usw.

Erst später erfuhr Euler zu seiner Verwunderung 1 ), daß La-g ran ge seine Differentialgleichung integriert hatte, ohne von derMethode des integrierenden Faktors Gebrauch zu machen. Mit seinerunermüdlichen Tätigkeit wollte er gleich das sich auf Differentiationstützende Lagrangesche Verfahren beherrschen und erkannte, daßdasselbe in manchen Fällen gute Dienste leisten kann. Ist z. B. dieGleichung:

dx _ dy

X ~ Y

vorhanden, wo:

X = a + 2 ßz + yx 1 , Y = a + 2 ßi) + yy 3 ,

so schreibe man:

dx v dy v

dt A ’ dt

woraus folgt:

4 ß + 2y(x + y).

Setzt man x — y = q, so ist:

y dq_ x —1'

q dt x — y

= 2 ß + y (x + y),

also:

! ) Dilucidationes super methodo elegantissima, qua illustrisde la Grange usus est, in integranda aequatione differentiali

dx dy

yx yy'

Acta Acad. Petrop. II P. 1, 1778, p. 20—57; Inst. calc. int. IV, p. 465—503.