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Abschnitt XXVI.

und durch Integration:

dx du<l dt d Tt = 9dx ' dy “ q

dq

Tt

log f || + log ^7 = 2 log 2 + const.,

oder:

C =

° dtdxdy

XY

q'dt * (x — y]° ’

oder auch, durch Veränderung der willkürlichen Konstante:

C- XY | (ff ^ {a + ßix + y) + yxyy«V) (x-yV-

was sich einfacher schreiben läßt:

Die Gleichung:

C =

a + ß {x + y) + yxy .x — y

dx dy

X “ “ Y >

wo X, Y die obige Bedeutung haben, kann auf ähnliche Weise be-handelt werden.

Nach diesen ganz einfachen Beispielen kommt Euler auf dieDifferentialgleichung:

< 31 )

dx , d y

yx ± yY

die er in den folgenden Fällen integriert:

X = u + ßx + yx-,

X = a + ßx + yx 2 + dx 6 + ex*.

X = u + ßx 2 + yx 4 -f dx 6 .

Wir beschränken uns hier auf den zweiten Fall, auf welchen diezwei übrigen zurückführbar sind. Euler setzt, nach Lagrange:

x + y = P, x — y — q,

ferner, wenn das untere Vorzeichen angenommen wird:

dx = (hj = dt,

yx yY

was darauf hinauskommt, daß er das Lagrange sehe T gleich Einsannimmt. Es ist dann:

dpdq = x _ Y = q (ß + yp + .* (3p* + 2 *) + L (p» + pqif),