Transzendenten. Elliptische Integrale.

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ferner:

ydxd*x dXdx >)dy d , y dY dy

dt dt' dx dt. * dt. 11t * /l it tlt >

dx dt

dt dt *

d y dt

woraus folgt:

d*p 1 (dX dY\ „ . . 3<5 £ Q

dt* = T \Tx + dy ) = 0 + rp + 4 (i»' + 2 S ) + T fj> 8 + 3 pq 2 ),

also:

dpdq

d z p dpdq /d , \ ,

dt* ~ Ydt* = (t + tp ) q ■

oben:

oder:

Multipliziert man mit “ s ^, und integriert, so erhält man wie

l td p/\ -

? (tuf = 6 ’ + Ö P + ^

yX + yY=(x — y) yc + ä (x + y) + t (x + y ) 2

Bestimmt man die willkürliche Konstante derart, daß x — k füry = 0 ist, so erhält man nach einigen leichten Umformungen:

(32) ~ a + ß( xJ r y) + -yxy + 6x_y(p_+_y) + 2 £&*!/ * + 2 y'X Y

(*—«?)*

_ 2k + ßk+2-\/aK

wo:

-ÄT = « /Jä: + yl ; 2 + dk s + sk 1 .

Nimmt man in (31) das obere Vorzeichen an, so hat man nur yrmit dem Minuszeichen zu behaften.

In dem besonderen Falle, wo:

X = (a + bx + ca; 8 ) 3 = B 2 , Y = (a + by + cy 2 ) 2 = S 2

ist, kommt das merkwürdige Ergebnis vor, daß das Integral von (31),wenn das obere Vorzeichen angenommen wird, in eine Identitätübergeht. Man kann dennoch das Integral durch die folgende Methodeerhalten.

Setzen wir:

X = B 2 + l, Y = S 2 + X,wo l beliebig klein ist; es folgt dann:

Vx = b+* r , yY=s

x

27? >

und das Integral, wo <5 = '2be, e. = c 2 ist, nimmt die Form an:

x — y

= yC + 2 bc(x + y) + c 2 (x + y ),