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Abschnitt XXVI.

V

,t~i >

wo c = j/« s — b s , so ist:

Bogen EX — Bogen AT = C ({ f

er — x

a

Es ist leicht, das Euler sehe Theorem auf Grund dieses Hilfs-satzes nachzuweisen. Nimmt man nämlich auf der Verlängerung vonTP einen solchen Punkt V, daß CV=a, und schneidet C V dieEllipse in Z, so sind CX, CZ konjugierte Durchmesser 1 ). Ist nunXQ die Normale in X, Q die Projektion von X auf CZ, L derSchnittpunkt von XQ mit CA, so ist:

LM = x

CL ■ CP

folglich:

Bogen EX — Bogen AT — CQ.

Ist H der zu X in bezug auf AB symmetrische Punkt, Y derzu X entgegengesetzte Kurvenpunkt, S der Schnittpunkt von P Vmit der Ellipse, so ist:

EX = FH = YF, XT = HS, AT = AS,

folglich:

YFH — TAS = 2CQ,YFS — XAS = '2CQ,

oder schließlich:

was zu beweisen war.

Die größte Differenz der Bögen YFS, XAS entspricht derAbszisse:

a y<i

yY+i ’

es ist dann z = x, so daß T mit X zusammenfällt, und:

*) Aus:

c z x

ergibt Bich:

■vrorauB bekanntlich folgt, daß CX und CZ konjugierte Durchmesser sind.