Transzendenten. Elliptische Integrale.

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Es ist feiner, wegen einer bekannten Eigenschaft der konjugiertenDurchmesser:

n ■ (/V = ab,

also:

or =y a? + v

und schließlich:

Q'PS- QAS = 2 ■ OV.

Der Euler sehe Satz ließe sich, wie Bossut bemerkt, auf fol-gende Weise a priori entdecken. Setzen wir uns vor, zwei Ellipsen-bögen anzugeben, deren Differenz algebraisch rektifizierbar sein möge.Es sei A'BQ einer dieser Bögen, wo A'Q—x ; dann ergibt sich wieoben:

,1-a-bq

wenn man setzt:

Ya 2 ¥ + 2ac 2 x — c 2 x 2 = an,

woraus folgt:

i ö -| / q o

x = a 4 - ]/«-—«“•

c '

Da aber identisch:

a t b t dn

trdn

so ist das Problem gelöst, wenn r ^— das Differential eines Ellipsen-

bogens bildet. Daß dieses wirklich stattfindet, bestätigt man durch

ab

, welche ergibt:

die Substitution n =

n.

n. -d n.

a-b-dn

»Pi?

wo:

7i\ = Y(a 2 — VXV“ & 2 )

ist.

Bezout 1 ) stellt die folgenden drei Sätze auf:a) Das Differential:

dö = d gxf

läßt sich in zwei Differentiale von der Form:

') Memoire sur les quantites differentielles, qui n’etant point

integrables par elles-memes, le deviennent neanmoins quand on

leur joint des quantites de meine forme qu’elles, Mem. pres. par div.savans III, 1760, p. 326—313.