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Abschnitt XXVI.
m = 2, r =
l
ist also:
a
V
£-x z — a-
so folgt:
Satz c) kann auf die Kurven:
4 /+ 1 41-1
y = 3Ix*‘ +s , y = 3lx it + l
angewandt werden, wo t =k 0.
Die bisher besprochenen Untersuchungen sind nicht nur in histo-rischer, sondern auch in sachlicher Hinsicht von außerordentlicherWichtigkeit. Ihr wesentlicher Inhalt läßt sich wie folgt zusammen-fassen.
Bezeichnet Ilx irgend eins von den betrachteten Integralen, alsoein Integral, welches die Quadratwurzel eines Polynoms der viertenOrdnung als einzige Irrationalität enthält, und besteht zwischen x, y, ueine gewisse algebraische Beziehung:
a = v*0, y),
Ilx ± IIy = 11a -j- cp(x, y, a),
so ist:
wo <p{x, y, fl) eine algebraische Funktion 1 ) von x, y, a bezeichnet; inden einfachsten Fällen ist diese Funktion identisch Null, so daß:
Ilx ± Tly = Tla
ist. Mit anderen M orten: Die Summe oder die Differenz zweiergleichartigen Integrale Fix mit verschiedenen oberen Grenzen, ist, voneiner algebraischen Funktion dieser Grenzen eventuell abgesehen, einIntegral von eben derselben Form, dessen obere Grenze von den-jenigen der vorgegebenen Integrale algebraisch abhängt.
Diese Eigenschaft der elliptischen Integrale hat man sich ge-wöhnt als Ad di t ionstheorem zu bezeichnen; und Euler bemerkte auch,wie schon (S. 805) gesagt, daß dieselbe den hyperelliptischen Integralen
*) Erst gegen das Ende unserer Periode stellte sich, wie wir unten sehenwerden, der Fall von den Integralen dritter Gattung ein, wo cp eine algebraisch-logarithmische Funktion ist.