Transzendenten. Elliptische Integrale.

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nicht zukommt, was später den Ausgangspunkt des Umkehrproblemsder Abelschen Integrale bildete.

Die Analogie mit den Kreisfunktionen entfiel weder Euler nochLagrange; beide gingen, um eine Integrationsmethode für die ellip-tische Gleichung aufzufinden, von der einfacheren Gleichung:

dx du

+ ' -- - = 0

yi — — y-

aus, deren Integral sich unter den beiden gleichbedeutenden Formen:

x]/l — y- ± 1 /]/l — xr = a,arcsin x + arcsin y = arcsin aschreiben läßt. Setzt man:

x = sin t, y = sin u,

so erhält man hieraus, nach einer viel üblicheren Schreibweise:sin tY 1 — sin ir ± sin «]/1 — sin t 3 = sin (t ± u),

eine Formel, welche aussagt, daß zwischen sin t, sin« und sin(#±«)eine algebraische Beziehung stattfindet. Es sollte ganz natürlich er-scheinen, eine analoge Umformung in die elliptische Differential-gleichung einzuführen; man hatte nur:

Tlx = u, Ily = v, Ha = c

zu setzen, und x, y, a als Funktionen von u, v bzw. c:

x = Xu, y = X v, a = Xc

anzusehen, um schreiben zu können:

X(u + v) — t(Xu, Xv).

Man sieht hieraus, wie nahe die beiden großen Mathematikerdem Begriffe der Umkehrung der elliptischen Integrale kamen. Undes mußten dennoch manche Jahrzehnte verfließen, ehe dieser BecrifFans Licht kommen möchte!

B. Bezieh ungen zwischen Bögen verschiedenerKegelschnitte.

Zu jedem beliebigen Bogen eines Kegelschnittes läßt sich, wieschon gesehen, ein anderer Bogen desselben Kegelschnittes derart an-geben, daß die Differenz beider Bögen algebraisch ausdriickbar ist.

Cantob, Geschichte der Mathematik IV. 54