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Abschnitt XXVI.

Es erhebt sich aber die Frage, ob es möglich ist, jeden beliebigenKegelschnittbogen durch Bögen eines Kegelschnittes von bestimmterArt auszudrücken. Analytisch lautet die Frage, ob und wie man ge-wisse Integrale auf eine bestimmte Form bringen kann. Diese Frageenthält den Kern zweier Begriffe, die in der Theorie der elliptischenFunktionen eine Hauptrolle spielen, der Transformation und derReduktion auf Xormalformen.

Eigentliche Transformationen und Reduktionen sind die folgendenProbleme, die Euler gleich zu Anfang unserer Periode unter-suchte l ):

1. Das Differential:

tlx dx

y« -f- ßx -p yx 1 -f- i)* 5 -(- f x* yx

durch Kegelschnittbögen zu integrieren;

2. die Bedingungen aufzusuchen, unter welchen:

f (p + qy + ry*)dy

f yr

s

auf die Form:

(P + <l x ~p rx*)dxYa -p yx * -(- fi‘

zurückführbar ist;

3. das Differential:

(p -p rx*)dx

Y a -p yx* -p f X 4

durch Kegelschnittbögen zu integrieren, wenn das unter dem Wurzel-zeichen stehende Polynom nicht in zwei reelle rein quadratische Fak-toren f-\-gx i , h + kx* auflösbar ist;

4. die Bedingungen anzugeben, unter welchen (44) sich auf die

Form:

(p. -p qx -p rx*)dx

y2ßx -P yx* -p 2<S'x :

bringen läßt.

Eine mehr systematische Behandlung erfährt das allgemeineReduktionsproblem in einer späteren Schrift Eulers. 2 ) Hier tauchtein neuer und fruchtbarer Gedanke auf; ein Gedanke, der auch ge-eignet war, zur Umkehrung der elliptischen Integrale zu führen.

■) Consideratio formularum, quarum integratio per arcus sectio-num conicarum absolvi poteet, Novi Comm. Acad. Petrop. VIII, 1760 und1761 (publ. 17637, p. 129—149. *) De reductione formularum inte-

gralium ad rectifieationem ellipsis et hyperbolae, Xovi Comm. Acad.Petrop. X, 1764 (publ. 1766), p. 3—50.