Transzendenten. Elliptische Integrale.

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Euler will die Kegelschnittbögen als neue Transzendenten mit dem-selben Rechte in der Analysis einbürgern, mit welchem schon langeher die Logarithmen und die Kreisbögen in derselben auftreten. Undso wie man in der Trigonometrie den Radius = 1 annimmt, so nimmter den Halbparameter = 1 an, so daß die Gleichung des auf einenScheitel als Koordinatenursprung bezogenen Kegelschnittes lautet:

wo 2 a die Länge der durch den betrachteten Scheitel gehenden Achsebezeichnet. Hier ist:

a > 0 für die Ellipse;a = 1 für den Kreis;a = oo für die Parabel;a < 0 für die Hyperbel

Die Bogenlänge ll a x x ) ist:

2a(l — a)x -f (1 — a)x

a( 2ax

Euler bringt dieses Integral auf die Form:

f + gz

h + kz

und unterscheidet zwölf für dieses letzte Integral mögliche Fälle,je nach dem Vorzeichen und der relativen Größe der Koeffizienten,wie aus folgender Tabelle erhellt, welche auch angibt, auf welcheWeise das Integral in jedem besonderen Falle durch Kegelschnittbögendarstellbar ist:

/' 9 k

1 -p + — /'£■ > gh alg. F., Ellipse und Hyperbel

2 + + + -r ß < yh Hyperbel

3 + + + — Ellipse

4 + + — + alg. F., Ellipse und Hyperbel

5 -f — + -j- alg. F., Ellipse und Hyperbel

6 + — + — fk > gh Ellipse

7 + — -f — fk<Cgh alg. F. und Hyperbel

! 'i Euler schreibt Ux[o].

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