838 Abschnitt XXVI.
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Ellipse und Hyperbel
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Hyperbel. 1 )
Das Problem der Zurüekführung von Integralen auf Kegel-Schnittbögen hatte schon früher (diese York, III 2 , S. 871) Maclaurin und d’Alembert beschäftigt. Der letztere kommt auf den Gegen-stand noch öfters wieder zurück. In seinen Opuscules mathema-tiques 2 ) beweist er, mit Hilfe früher erhaltener Resultate, daß:
f y'dy
J \'Ay* + C,f-+ Dy + E
und andere ähnliche Integrale auf Kegelschnittbögen reduzierbar sindDie Berichtigung und Vervollständigung einiger Punkte dieser Arbeitbildet den Zweck einer kurz darauf erschienenen Schrift. 3 ) Auch inseinen schon oben (S. 728) besprochenen Recherches sur le calculintegral gibt er einige auf Kegelschnittbögen zuriickführbare Inte-grale, wie:
a) 'füdv[A + B sin (a + v) + C cos (c + v) + 1) sin (q + v)
~t F cos (/ -j- v) -(- • • •] - ,
wo n eine ganze Zahl, L eine ganze rationale Funktion von Sinussenund Kosinussen von um konstante Größen vermehrten Vielfachen voni’ bezeichnet;
, * "I 71
b) J Udv(A + B siur) 2 (0 + J) sin v + E sin v s ) 3 ,
wo m , n ganze Zahlen sind und L eine ganze rationale Funktion vonsin '2pv oder von cos^r bezeichnet;
‘) Eine analoge Untersuchung bildet den Inhalt von zwei Kapiteln (T. II,L. 1, C. 12, 13) der mehrmals angeführten Institutiones analyticae vonRiccati und Saladini, wo die Frage auf Grund einer früheren Arbeit vonRiccati (Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinen-tium, 2 Ilde., llononiae 1757—17G2, T. II, Op. 2, p. 36 —176) behandelt wird.Einige auf Kegelschnittbögen reduzierbare Integrale wurden auch von Lorgna (Opuscula mathematica et physica, Veronae 1770) angegeben.s ) T. IV, Paris 1768, p. 225—253: Recherches de calcul integral, p. 254 bis282: Supplement au memoire precedeut. *) Recherches mathematiquessur divers sujets, Mise. Taur. IV, 1760—1769, P. II, p. 127—161.