Abschnitt" XXVI.

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bare Integrale von ihm selbst durch lauter Bögen ausgedrückt werden;daß dieses aber keinen Widerspruch bildet, da die Fagnano-Euler-schen Sätze in bestimmten Fällen das Mittel liefern, die Summe einesBogens und einer algebraischen Funktion durch einen Bogen zu er-setzen.

Wiederum auf elliptische Integrale bezieht sich ein Schreibenvon d’Alembert au Lagrange vom Jahre 1781.*) Hier berichtigter eine Stelle seiner Schrift vom Jahre 1746 dadurch, daß er bemerkt,daß das dort als auf zwei Hyperbelbögen und einen Ellipsenbogenreduzierbar angegebene Integral:

r dz \ z

J y? +yt+ ~i> ’

J

z 2 + fz + b = (z + a) (z + c i, a > 0, c > 0,

durch einen einzigen Ellipsenbogen und eine algebraische Funktiondarstellbar ist, da die beiden Hyperbelbögen sich gegenseitig aufheben.Ist dagegen:

z 1 + fz + b = (z — a) (z — c\

oder sind die Faktoren des Trinoms imaginär, so findet diese Auf-hebung nicht mehr statt.

Lex eil 2 ) gibt für die Euler sehe Klassifikation eigene Beweise,und leitet einige neue Sätze aus der Vergleichung der Ergebnisseverschiedener Reduktionen eines und desselben Integrales ab. Ist z. B.das Integral:

1 4 - m

1 + nz

vorhanden, und setzt man:

e sin qpy'm 1 + e cos qp

oder:

1 1-f-ecosU’e}/n sin,; ’ ’

wo:

/ »'

*) Extrait d’une lettre de M. D’Alembert ä M. de la Drange du14 decembre 1781, Nouv. Mein. Berlin 1780 (publ. 1782), p. 376—378.

■) De reductione formularum integralium ad rectificationemellipseos et hyperbolae. Acta Acad. Petrop. 1778, P. I (publ. 1780), p. 58bis 101.— Ad dissertationem de reductione formularum integraliumad rectificationem ellipseos et hyperbolae additamentum, Acta Acad.Petrop. 1778, P. II (publ. 1781), p. 55—84.