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Abschnitt XXYI.

düng von auf elliptische Integrale zurückführbaren Integralen be-treffen. Von dem vorgestellten Problem gibt Euler , unter der Vor-aussetzung, daß der betrachtete Kegelschnitt eine Ellipse mit denHalbachsen 1, n ist, drei Lösungen.

1. Es muß sein:

Vd^+ dy 1 = \ 1 ~ 1 (1 Sj )v dv >

wo x, y die Koordinaten eines Punktes der gesuchten Kurve be-zeichnen, während v die Abszisse des entsprechenden Punktes derEllipse ist. Man setze nun:

dann ist:

dx = p '~ . dv, (ly = - , P - ■ q -- dv ;

y 2 (1 + v) >/2 (1 — v)

\ dx 2 + df = yPl +f-JP** dv.

Nimmt man also für p, rj zwei solche ganze rationale Funktionenvon v, daß:

p- -f q 2 — 2pqv = 1 — (1 — w s )v 2

ist, so sind die Differentialausdrücke dx, dy algebraisch integrierbar 1 ),

(publ. 1789), p. 59—70. — De innumeris curvis algebraicis, quarumlongitudinem per arcus ellipticos metiri licet (1776), ebenda, p. 71bis 85. — De infinitis curvis algebraicis, quarum longitudo in-definita arcui elliptico aequatur (1781), Mem. Acad. St. Pet. XI, 1830, p. 95bis 99. — De infinitis curvis algebraicis, quarum longitudo arcuip arabolico aequatur (1781), ebenda, p. 100—101. — De curvis algebraicis,quarum omnes arcus per arcus circulares metiri liceat (1781), ebenda,p. 114—124. — Mit diesen Schriften hängt die von Fuß zusammen: De in-numeris curvis algebraicis, quarum longitudinem per arcus liyper-bolicos metiri licet (1798), Nova Acta Acad. Petrop. XIV, 1797—1798 (publ.1805), p. 111—138.

') Ist nämlich:

P=ya>,v h , 2 =

h h

und setzt man:

V i + * = u

SO folgt:

2> + 9 = + LL - , dV l =2dt,

l/l +*

also:

dx = y2y(a k -f b k ) (t* — lpdt,

h

woraus sich durch Integration ein Polynom in t , also eine algebraische Funktionvon v ergibt. Dasselbe findet für y statt.