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Abschnitt XXVI.

wo oj eine auf passende Weise zu wählende Funktion von cp be-zeichnet. Nimmt man a = Xcp, wo X eine ganze von ± 1 verschie-dene Zahl ist. so erhält man:

x = Yll -f-1 sm ^ ~ i _i sin ^ _

y = y[— *+ 1 cos ( ; - + 1 )<P + i I1 cos u — l)y];

diese Gleichungen stellen eine algebraische Kurve dar.

3. Nehmen wir zunächst an, es sei n > 1. Wir können setzen:

dx = (cos Xcp — m sin cp sin Xcp)dcp, dy = (sin Xcp + m sin cp cos X.cp)clcp,

wo X die obige Bedeutung beibehält, und m 2 =»r— 1 ist; hierausfolgt:

* = X sin ~ 2(y- l) sin '•* _ + 2(1 + l) sin + 1 )9 ) »

i) = — ! cos Xcp + -- ” l cos (X — 1 >qp — -,. m - cos (X + IW.

Ist dagegen n < 1, so setzen wir:

dx = (» sin Xcp + m cos <p cos Xcp)d<p,

dy = (n cos Xcp — m cos cp sin Xcp) dcp,

wo »i 2 = 1 — n--, es folgt dann:

x = — y cos Aqp + ^ sin (X — 1) cp + .. sin (X + l)cp,

y = sin Xcp + cos(A — l)cp + , ™-cos(A + 1 )cp.

Eine längere Abhandlung widmet der schon oben genannteMalfatti 1 ) den elliptischen Integralen. Nachdem er die Ellipse unddie Hyperbel durch Reihenintegration rektifiziert hat, bemerkt er, daßzwar das Bogenelement dieser Linien die Form:

1 /mA-nx 1 7/ — - s dx

p + yx 1

hat, daß aber nicht umgekehrt jedes Differential von dieser Formeinen einzigen Kegelschnittbogen darstellt. Um die Differentiale vondieser Beschaffenheit zu untersuchen, schickt er einige Hilfssätze vor-

') Delle formole differenziali la cui integrazione dipende dallarettificazione delle sezioni coniche, Mem. Soc. It. II, P. II, 1784 , p. 749bis 786 .