Transzendenten. Elliptische Integrale.

ST>7

CX mit dem um C mit dem Radius CA gezogenen Kreise, 31 derSchnittpunkt der zu CA senkrechten Geraden ZF mit der Ellipse,und setzt man A('Z = (f. so ergibt sich leicht:

und hieraus:

V31' = E = f VI — c 2 cos rr-,

J costf- ' r ’

0

f

A 31 = F = / ]- 1 — c 2 cosö

E = tg qp V 1 — c 2 cos qp 2 — c 2 F - h' 2 c

dF

de

Das Integral:

dz

Bz* + Cz'

läßt sich in allen Fällen auf Fl, F' und deren Ableitungen nach czurückführen; dasselbe folgt von:

r p<iz! y.i + Bz'--\-c.

r dz

! \ A -y Hz + Cz* + D z 5 + Kz 4 -

Erst nachdem die erste Legen dresche Abhandlung, derenInhalt wir soeben wiedergegeben haben, der Pariser Akademievorgelesen worden war, erfuhr ihr Verfasser, daß Landen den denHyperbelbogen betreffenden Satz aufgestellt hatte. Er setzte sichdann vor, zu beweisen, daß sich der Landensehe Satz aus seineneigenen Resultaten herleiten läßt, und daß man auch eine unendlicheFolge von Ellipsen auffinden kann, deren Rektifikation von derjenigenvon zwei derselben abhängig ist.

Es sei neben der schon oben betrachteten Ellipse noch einezweite vorhanden, deren Elemente c, V, F" usw. sein mögen, undsetze man:

c - sin <f cos rf , .

. . ... ,,, = (1 - k) sin qp,

] 1 — C - Sill (f, -

wo (f mit dem früheren * — qc übereinstimmt; das ist nichts anderesals die Landensche Transformation. Fis folgt:

sin qp' 2 = -J- [ 1 + c sin <p' 2 ± cos qp Aqp J,

1 — 6 „

wo c= ■ : terner:

1 + 6 •

dF" = Yl — c /2 sin qp' 2 r/qp' =

c " sin cp' cos cp dcp' 2 sin cp cos cp' dcp'

(1 — b') sin cp (1 -f- c) sin

Nimmt man aber in der vorletzten Gleichung das untere Vor-zeichen und differentiiert, so ergibt sich: