860

Abschnitt XXVI.

2 - + -

3 + + -

4 + - -

5 — + T

6 - - +T + - +8 + + +

unmöglich

Ellipse

Hyperbel

Hyperbel ,

Hyperbel und GeradeHyperbel und GeradeHyperbel. Ellipse und GeradeEllipse und Gerade.

Die Schrift von Legend re 1 ), mit welcher wir uns nunmehr zubeschäftigen haben, verdient wohl als die Grundlage der systema-tischen Behandlung der elliptischen Integrale bezeichnet zu werden;und vielleicht hätte die Theorie dieser Funktionen am Ende des18. .Jahrhunderts einen rascheren Fortschritt aufgezeigt, wenn nichtdie Legendreschen Untersuchungen aus äußeren Umständen so gutwie unbekannt geblieben wären, bis sie zwanzig Jahre später durchdie Exercices de calcul integral verbreitet wurden.

Manche analytische Fragen, sagt Legendre , die sich nicht durchEllipsenbögen auf lösen lassen, führen zu Integralen von der Form

r vdx

f n ’

wo 1 J eine rationale Funktion von x,

11 die Quadratwurzel

eines Polynoms vierten Grades bezeichnet. Man kann aber nach-weisen, daß solche Integrale auf drei Typen reduzierbar sind, derenzwei ersten sich durch Ellipsenbögen ausdrückeu lassen, während derdritte von verwickelterer Art ist; daß aber die zwei ersten Typenvoneinander zu unterscheiden sind, hängt davon ab, daß der ersteauf den zweiten zurückführbar ist, während das Umgekehrte nichtstattfindet.

*) Memoire sur les transcendantes elliptiques, oü l'on donnedes methodes facilcs pour comparer et evaluer ces transcendantes(iui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frdquem-ment dans les applications du calcul integral, Paris , an II ( 179 . 3 ). —Diese Abhandlung, welche der Pariser Akademie im April 1792 vorgelesenwurde, erschien im darauffolgenden Jahre als selbständige Schrift wegen derinzwischen geschehenen Abschaffung der Akademie. Sie ist selbst in Frank-reich sehr selten, und wir verdanken es der Freundlichkeit von Prof. A. llou-langer zu Lille , der die Gefälligkeit hatte, einen ausführlichen Auszug nacheinem in der Bibliothek de la Sorbonne existierenden Exemplar für uns zuliefern, daß es uns möglich ist, über diese wichtige Schrift zu berichten. DasWesentlichste des Inhaltes des Memoire wurde von Legendre in seine Exer-cices de calcul intägral (T. I, Paris 1811 ) einverleibt.