Transzendenten. Elliptische Integrale.

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Die Reduktion des allgemeinen Integrales auf die erwähnten dreiTypen geschieht folgendermaßen.

Man kann vor allem TP in ein anderes nur gerade Potenzen derVeränderlichen enthaltendes Polvnom von gleicher Ordnung durcheine lineare Substitution umwandeln; wir können also setzen:

R- = u + /ix* + yj A .

Man kann ferner voraussetzen, P sei eine rationale Funktion vonx s ; zerlegt man nämlich P in die Summe einer geraden und einerungeraden Funktion:

J p d x

U r— bekanntlich ein elementares Integral. Es existiertdann stets eine Substitution, die das Integral in / ( ^f-- überführt,

_ _ ’ J ’

wo Aqp — c 2 sing*, Q eine rationale Funktion von sin tp- be-

zeichnet, und die Zahl c zwischen 0 und 1 liegt.

Ist nun Q zunächst eine ganze Funktion von sinqr:

und setzt mau:

so folgt:

es ist aber identisch:

a h sin <p

• • 3A »

8111 qj acp

A cp ■ cos <p ■ siu 9 P 24_3 = (2k — ‘A)Z h _ i — (1 4- c‘)(2k — 2)Z h _ l+ e\2h - 1 )Z„

wonach sämtliche Z h durch Z a und Z l ausdrückbar sind. — Ist zwei-tens Q gebrochen, so kommen auch Teilintegrale von der Form:

{ '[v = 11

t / (1 -(- tl sin qr^'A <f *

vor; setzt man aber augenblicklich sin qp = x, so folgt:

t J\ l+ «**)* l'i

lh =

dx

- (1 4- c 5 ) X- -i- c s x 4

ein Integral, für welches die folgende Rekursionsformel gilt: