Transzendenten. Elliptische Integrale

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A qp A U> c 5 sin qp sin V> cos ip cos ip1 — c* sin qp ! sin tp*

und als besonderer Fall die Multiplikationsformeln, aus welchensich die Teilungsformeln ableiten lassen. Das n-Teilungsproblemhängt von einer algebraischen Gleichung der »r-ten Ordnung ab, die

sich auf eine der " 0 - ten Ordnung reduziert, wenn n ungerade

und cp — * ist.

Besteht zwischen (p, i> und ja die Beziehung:

F{cp) + F (il>) = F (ja),

so folgt:

(f>3) E (qp) + E(il>) — F (ja) = c? sin qp sin y sin ja,

n y ct sin qp sin ip sin u.

77 (qp) + 77(V) - 77 (ja)

arc tg

° 1 -)- M — »1 cos qp COS 1p COS II ’

wo:

(‘+»)(■+?)

ist. 1

In seiner zweiten Abhandlung von 1786 wurde Legendre dazugeführt, zwei Ellipsenbögen untereinander zu vergleichen, deren Ex-zentrizitäten c, c und deren Argumente (f, cp' in den Beziehungen;

zueinander stehen. Diese letzte Gleichung läßt sich einfacherschreiben:

sin (2cp’ — <p) = c sin cp.

Hier dehnt Legendre diese Vergleichung auf Integrale allerdrei Gattungen aus. Es ergibt sich zunächst:

E\c, qp);

F (c, cp')

wendet man diese Transformation wiederholt au, so folgt:„ 2 yV _ 2 YF'

c = r+V’ c -1 +v»''

F(c", cp")

F(c", <f"\

F{c, cp'), F(c'", cp"')

*) Die Formeln (52), (53), (54) gehören eigentlich der Abteilung A diesesKapitels an; wir haben dieselben aber hier des Zusammenhangs wegen an-geführt.