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Abschnitt XXVII.

grationsintervall a x in Teilintervalle a a, a a", . . . zerlegt und dievorgelegte Differentialgleichung näherungsweise als Difterenzenglei-chung angesehen.

Unter der stillschweigenden Voraussetzung also, daß eine Inte-gration immer möglich sei, war man zu verschiedenen Erkenntnissenüber die Natur der Integrale gelangt. Die Tatsache, daß in dasIntegral der totalen Differentialgleichung « ,er Ordnung mit 2 Variabeinimmer n Konstante eintreten, ist längst bekannt 1 ); über die Zahl derwillkürlichen Funktionen im Falle partieller Differentialgleichungenfinden sich Untersuchungen in den Memoiren der Pariser Akademie 2 ).Umgekehrt wird die Frage nach der Ordnung der Differentialglei-chung, die durch Elimination von n Konstanten entsteht, behandelt.So zeigt Lagrange 3 ), daß aus einer Gleichung mit 3 Variabein und5 Konstanten immer eine partielle Differentialgleichung mit 3 Variabeinund 5 Differentialquotienten hervorgeht, so daß also die gegebeneGleichung einer partiellen Gleichung 2. Ordnung gleichwertig ist.

Einen größeren Reiz übte auf viele Mathematiker das Problem,von vornherein, a priori, ganz allgemein den Bau, die analytischeForm der Integrale und die Natur der darin auftretenden Transzen-denten zu bestimmen. Die betreffenden Mathematiker waren sichnatürlich der Schwierigkeit und Unbestimmtheit dieser Fragestellunggar nicht bewußt; man denke nur, welche Hilfsmittel allein dieTheorie der Integrale von Funktionen mit ausschließlich algebraischenIrrationalitäten erfordert, wie sie das abgelaufene Jahrhundert ge-schaffen hat, und man wird die Zwecklosigkeit jener Versuche ein-sehen. Insbesondere hat sich der Marquis de Condorcet mitdiesem Problem beschäftigt 1 ), ohne allgemein gütige Resultate zu er-halten; auch Laplace ist in dieser Hinsicht tätig, steckt sich abervon Anfang an engere Grenzen. Er versucht von vornherein, ohnewirklich Integrationen durchzuführen, lediglich auf Grund funktionen-theoretischer, sehr interessanter, allerdings nicht ganz korrekterSchlüsse die Form des Integrals der partiellen Differentialgleichungen1. und 2. Ordnung festzustellen’’), d. h. die Art der Verknüpfung derdarin auftretendeu willkürlichen Funktionen zu bestimmen. Die Er-gebnisse seiner Untersuchung bilden die wesentliche Grundlage seinerTheorie der Integration der partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung.

*) Siehe z. B. Institutiones ealculi integralis, vol. II, p. 367. *) Histoire

de l’Academie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 1 ff. *) Oeuvres de La-grange publ. par Serret, t IV, p. 89. 4 ) Histoire de l’Acaddmie des Sciences

1772, part. 1 (1775), Histoire, p. 66. Viele spezielle brauchbare Erkenntnisse:Ebenda, Memoires, p. lff. 5 ) Ebenda 1773 07771, p 347ff.