Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Ein wichtiges sich zwar nicht auf den äußeren Bau, so dochebenfalls auf die Natur der Integrale beziehendes Problem wirft manmit der Frage auf, welcherlei Unstetigkeiten in den willkürlichenFunktionen einer Integralgleichung auftreten dürfen. Wir wissenaus dem vorigen Band 1 ), daß dieses Problem durch die Integrationder Differentialgleichung der Saiten Schwingungen veranlaßt wurde undein Gegenstand lebhaften Streites unter den einzelnen Mathematikernwar. Der vorsichtige d’Alembert, welcher von seinen Zeitgenossenam meisten Sinn für Präzision und Exaktheit, für Strenge in der Rech-nung zeigte, wollte, wie wir uns erinnern, nur solche Funktionen zu-lassen, die nach Taylors Reihe entwickelbar sind, Euler glaubt diesenFunktionen keinerlei Beschränkung auferlegen zu dürfen. Beide Forscherbleiben bis zu Ende ihres Lebens hartnäckig auf ihrer Meinung bestehenund geben ihrer Ansicht wiederholt bestimmtesten Ausdruck, d’Alem-bert besonders in seinem Briefwechsel und in seinen Opusculesmathematiques, Euler u. a. in seiner Integralrechnung 2 ). Die will-kürliche Funktion /) sagt dieser, kann so gewählt werden, daß diedurch | = f (ij) dargestellte Kurve mit freier Hand gezogen und ausTeilen verschiedener Kurven zusammengesetzt ist. Derartige Funk-tionen nennt Euler „discontinuas seu nexu continuitatis destitutas“;die Fähigkeit, auch diskontinuierlich sein zu dürfen, bezeichnet er alseine „vis praecipua“ der willkürlichen Funktionen. Zur Begründungfür seine Behauptungen benutzt er gleich darauf das Beispiel derschwingenden Saite: Die willkürlichen Funktionen des Integrals, heißtes, stellen die Anfangsbedingungen dar im Fall, daß sie (analytisch)bestimmt werden können; da diese Lösung allgemein sein muß, jedemAnfangszustand genügen muß, ist sie notwendig auch für jene Fälletauglich, in welchen man der Saite zu Beginn der Schwingungen eineganz unregelmäßige, diskontinuierliche Form gibt, und die Integrations-funktion muß sich auch diesen Fällen anpassen lassen.

Mährend nun Euler und d’Alembert , neben Daniel Ber-noulli die Häupter der beiden Parteien, ihrer ursprünglichen Ansichtunerschütterlich treu blieben, hatLagrange, der den fast beruhigten,weil aussichtslosen Streit durch seine beiden großen Aufsätze überNatur und Fortpflanzung des Schalles neu entfachte und darin sichauf die Seite Eulers stellte, sich von d’Alembert zwar nicht völligüberzeugen, aber doch wenigstens zu dem Zugeständnis drängenlassen, seine Lösung sei nicht von jeglicher Beschränkung frei, sondernsetze die Endlichkeit sämtlicher Differentialquotienten in allen

*) Vgl. diese Vorlesungen, IIP, S. 900 ff.gralis, vol. III, 1770, p. 39.

*) Institutiones ealeuli inte-