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Abschnitt XXVII.

Punkten der gegebenen Anfangsfigur implizite voraus 0. Nach undnach flaute die Debatte ab, da eine Einigung nicht zu erzielen war;die späteren Forscher begnügten sich damit, gelegentlich zu derSache Stellung zu nehmen. Auf diese Weise wird ersichtlich, daßCondorcet 2 ) und Laplace mehr auf der Seite d’Alemberts standen,insofern als auch sie die willkürlichen Funktionen gewissen Beschrän-kungen unterworfen wissen wollten. So fordert Laplace für dasIntegral einer Gleichung w ter Ordnung die Stetigkeit der Ableitungenaber nur bis zur (« — l) ten Ordnung einschließlich. 3 ) Für seine Auf-fassung ist folgende Überlegung maßgebend: Man kann jede Diffe-rentialgleichung als Spezialfall einer Differenzengleiehung auffassen,es sind lediglich die Differenzen unendlich klein geworden. Für dieDifferenzengleichungen brauchen aber (wie durch geometrische Kon-struktion der Integrale solcher Gleichungen gezeigt wird) die will-kürlichen Funktionen durchaus nicht stetig zu sein. Die übrigenGeometer nehmen fast alle Eulers Standpunkt ein. Der Streit hatübrigens eine wichtige Unterscheidung der bei Kurven möglichenUnstetigkeiten geschaffen; nach einer von der Petersburger Akademiepreisgekrönten Arbeit 4 ) ist „discontiguite“, d. i. Unstetigkeit in unsermSinne (etwa durch Sprung), von „discontinuite“ zu trennen. LetztereArt von Unstetigkeit besteht darin, daß die Funktion in verschiedenenIntervallen verschiedenen Gesetzen gehorcht. Der Verfasser, L. F. A.Arbogast (S. (>(>7, Note 1), ist der Ansicht, daß beiderlei Gattungenvon Unstetigkeiten in den Integralgleichungen zuzulassen sind; dieDifferentialgleichung verlange ja nur, daß ein Sprung des einen Diffe-rentialquotienten durch einen analogen Sprung des übrigen kompen-siert werde. Die Unstetigkeiten im zweiten Sinne werden überhauptvon den meisten Mathematikern zugelassen; erwähnt sei z. B.der Abbe T. Valperga di Caluso 5 ) (1737 —1825). Einen wirk-

') Xach Burkhardt, Entwicklungen nach oscillirenden Funktionen,Heft 1, S. 40. Dieser Aufsatz, im folgenden einfach als Burkhardt zitiert,findet sich in den Jahresberichten der deutschen Mathematikervereinigung; da-selbst ist der ganze Streit bezüglich des Problems der schwingenden Saiten aus-führlich dargestellt. Der Briefwechsel zwischen d’Alembert und Lagrangein Oeuvres de Lagrange, t. XIII. Man vgl. auch d’Alembert , Opuscules mathe-matiques, t. I, 1761, p. 65 ff. 8 ) Histoire de l’Academie des Sciences 1771 (1774),p. 49 ff. und p. 69. Seine Schlüsse sind nicht streng, die Darstellung ist schwer-verständlich. ®) Ebenda 1779 <1782), p. 299ff. 4 ) Vgl. Nova Acta Aca-

demiae Petropolitanae, t. V, 1787 (1789), Histoire, p. 5. Die Arbeit heißt Me-moire sur la nature des fonctions arbitraires, qui entrent dans les integralesdes equations aux differentielles partielles, St. Petersbourg 1791. Vgl. auchBurkhardt a. a. 0. 5 ) Nach Burkhardt, Heft 1, S. 44 Mem. Tor. 1786/87

(1788), p. 571.