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Abschnitt XXVII.
Als ganz entschiedener Anhänger Eulers ist endlich Monge zunennen, der von geometrischen Überlegungen geleitet wird. In einemAufsatz über die Bestimmung der willkürlichen Funktioneneiniger partieller Differentialgleichungen 1 ) zeigt er, daß dies Problembei gegebenen Anfangsbedingungen auch auf rein geometrischem Wegedurch Konstruktion der Integrale behandelt werden kann. Da ergibtsich denn, daß unter Umständen diese Konstruktion, m. a. W. die geo-metrische Lösung des Problems noch einen Sinn behält, wenn jenewillkürlichen Funktionen wegen auftretender Unstetigkeiten in denAnfangsbedingungen nicht mehr angebbar (inassignable) 2 ) gewordensind (vgl. auch oben S. 561). So ist ihm z. B. die Aufgabe, die will-kürliche Funktion <p in der Gleichung Z = qr { V(x, y) } zu bestimmen,wenn für ein gegebenes y = A(x) gleichzeitig z = y>(x j sein soll,identisch mit der Forderung, diejenige Fläche einer gewissen Flächen-familie zu finden, welche durch eine gewisse Raumkurve, nämlichy = A(x) und z — ip(x), hindurchgeht. Die betreffende Konstruktionwird sehr anschaulich und einfach durch Einführung der Schar vonZylinderflächen
V {x , iß = b,
welche auf der gesuchten Fläche eine Schar von ebenen Kurven aus-schneidet. Monge geht im folgenden zu Integralgleichungen mitmehreren willkürlichen Funktionen über, immer an einzelnen speziellenAufgaben rechnerisches und konstruktives Verfahren erprobend. Diesist übrigens nicht der erste Aufsatz von Monge über diesen Gegen-stand 3 ), und auch später ist er wiederholt darauf zurückgekommen. 4 )Er bringt indessen nichts wesentlich Xeues mehr; zu den schwierigerenspäteren Aufgaben gehört z. B. folgende 5 ): Sei z = cp ( U) + ip{ F), wo Uund V gegebene Funktionen von x und y sind; es sollen qr und ii>so bestimmt werden, daß für y = Fx von selbst z = fx und füry = F'x analog z = fx wird. Die Schwierigkeiten der Konstruktionvon z = M + N(f(V) -\- Fil’( TU) + ■ • • kann er nicht allgemein über-winden 6 ); die Konstruktion gelingt ihm nur, wenn die willkürlichenFunktionen alle das nämliche Argument besitzen. Im ersten Fallwird Monge zu Differenzengleichungen geführt (vgl. S. 1051). ImSupplement zur Applikation kommt er endlich noch einmal auf dieseAufgaben zu sprechen.
Die Bestimmung der willkürlichen Funktionen unter gegebenen
*) Miscellanea Taurinensia Y ! , 1770—1773, p. 16 ff. *) Ebenda, p. 21.s ) Vgl. ebenda, p. 18: dans un memoire precedent. 4 ) Memoires präsentes
par divers Savans, t. VII*, 1773 (1776), p. 267ff. Vgl. auch p. XIII der Vorrede.e ) Ebenda, p. 306. ®) Ebenda, t. IX (1780), p. 345 ff. Der Aufsatz wurde 1774
der Akademie vorgelegt.