Totale und partielle Differentialgleichungen.

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Anfangsbedingungen tritt noch viel häufiger in der mathematischenPhysik auf, und hier hat Euler für eine Reihe spezieller Problemedie Aufgabe rechnerisch gelöst. Die Erfüllbarkeit der gegebenen An-fangsbedingungen schien, auch wenn sie in analytischer Form Vor-lagen, gemäß ihrer geometrisch physikalischen Bedeutung bei allenderartigen Problemen schon von vornherein gesichert und wurde des-halb nie Gegenstand besonderer Untersuchungen.

Im Anschluß daran behandeln wir einen interessanten Fall einerRandwertaufgabe bei d’Alembert . 1 ) Vom Problem der schwingendenungleichförmigen Saite ausgehend, kommt er zu der Gleichung

wo X eine gegebene positive Funktion von x bedeutet. Er fragtnun, ob man den Parameter X so bestimmen kann, daß diese Glei-chung eine Lösung zuläßt, welche in a und b verschwindet, ohneidentisch zu verschwinden. Um diese Frage zu beantworten, führter die obige Gleichung in eine Riccatische Gleichung über durch

Einführung der neuen abhängigen Veränderlichen z = ^. Durch

Untersuchung dieser Gleichung kommt er zu dem Resultat, daß diegewünschte Parameterbestimmung stets möglich ist, und zwar so, daßdie betr. Lösung zwischen a und b nicht verschwindet. Daß es abernur einen solchen Parameterwert gibt, wird nicht erwähnt, ebenso-wenig ist von den unendlich vielen Parameterwerten die Rede, welcheman bekommt, wenn man Nullstellen zwischen a und b zuläßt.

Man hat ziemlich von allem Anfang an die Integrale in voll-ständige (bzw. allgemeine) und partikuläre unterschieden. Dazu kamdann später unser singuläres Integral hinzu. 2 ) Endlich unterschiedLagrange bezüglich der Integrale partieller Differentialgleichungenzwischen vollständigem und allgemeinem Integral (vgl. indessen S. 9H9und S. 972 Anm. 2). 3 ) — Bezüglich des Integrals, das aus

V(x, >/. z, a, &) = <>, b = <f(a), ~ ^ (f'(n) = O 4 )

*) Histoire de l'Academie de Berlin, t. XIX, 17G3 (1770), p. 244. Nach demArtikel „Randwertaufgaben bei totalen Differentialgleichungen“ in der Enzyklo-pädie der mathematischen Wissenschaften, II A 7 a, S. 439. *) Eine Definition

des partikulären Integrals hei Euler , Institutiones calculi integralis, vol. I,sect. 2, cap. 4. Eeruer bei Laplace, Miscellanea Taurinensia, t. IV 8 , 1766/09,p. 174 (verdruckt statt 274f, Definition des singulären Integrals bei Condorcet,ebenda, t. IV S , 1766/63, p. 6 isolution particuliere); siehe auch Oeuvres de La-grange, t. IV, p. 7. *) Die Benennung der verschiedenen Arten von Integralen

war jedoch beständigem Wechsel unterworfen. 4 ) Wir haben bei den partiellenCa5tor, Geschichte der Mathematik IV. 57