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Abschnitt XXVII.

durch Elimination von a und b hervorgeht, sagt Lagrange 1 ), es seibeaucoup plus generale als das vollständige Integral und nennt esdaher integrale generale. Bald darauf 2 ) sagt er, das allgemeine Inte-gral schließe die vollständigen Integrale ein comme des cas parti-culiers. Lagrange beschäftigt sich auch mit dem Zusammenhangzwischen vollständigem und allgemeinem Integral und sucht letzteresim Falle der Differentialgleichung 2. Ordnung sowohl aus dem end-lichen vollständigen Integral als aus ersten Integralen herzuleiten.Er zeigt dabei 3 ), daß das allgemeine Integral dieser Gleichung vielleichter aus den beiden vollständigen ersten Integralen als aus demvollständigen endlichen Integral entwickelt werden kann und suchtdeshalb aus dem letzteren auf das erste Integral zu schließen. DurchEinführung der partiellen Differentialquotienten 1. Ordnung geht aberaus der vollständigen Integralgleichung mit 5 willkürlichen Kon-stanten im allgemeinen eine Gleichung mit 3 Konstanten hervor, dienicht als erstes Integral der ursprünglichen Gleichung angesehenwerden kann, da ein solches nur zwei Konstanten besitzen darf.DDoch kann man durch geschickte Kombination der einzelnen Glei-chungen in speziellen Fällen eine Gleichung mit bloß zwei Konstantenerhalten, wie Lagrange an einigen Beispielen zeigt.

Auch Monge beschäftigte sich 5 ) mit der Aufsuchung erster In-tegrale besonders für Differentialgleichungen, von denen zu seinerZeit wohl das endliche, aber nicht das erste Integral bekannt war;von den Zwischenintegralen einer partiellen Differentialgleichung2. Ordnung verlangt er 6 ): sie dürfen keine Differentiationen 2. Ord-nung aufweisen, müssen aber dafür eine willkürliche Funktion ent-halten und sich durch einmalige totale Differentiation der Integral-gleichung und nachfolgender Elimination einer der zwei willkürlichenFunktionen samt ihrer Derivierten ergehen. J. Trembley (1749—1811)kommt gelegentlich 7 ) auf die Ergebnisse von Monge zu reden undspricht dessen Gleichungen den Charakter von ersten Integralen ah.

Differentialgleichungen die Schreibweise des Originals durchweg beibehalten,weil die sehr verschiedenartigen Manieren in der Bezeichnung das Suchen nacheiner vorteilhaften Schreibweise am besten erkennen lassen. Lagrange deutetwie dies zum Teil noch heute üblich ist, die partielle Differentiation nicht be-sonders an.

‘) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 74. Dieser Aufsatz stammt aus denMemoiren der Berliner Akademie für 1774. *} Oeuvres de Lagrange, t. IV,

p. 88. s ) Ebenda, p. 101. 4 ) Ebenda, p. 104. 5 i In seinem großen Auf-

satz über Differentialgleichungen in der Histoire de l'Academie des Sciences 1784(1787), der unten eingehend besprochen wird. ®) Ebenda, p. 135.

! ) Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XI, 1703 (1708\ p. 70.