Totale und partielle Differentialgleichungen.
885
Eine gemischte Form des Integrals, die neben willkürlichen Funk-tionen auch eine Integrationskonstante a enthält, will Monge zulassen . 1 1 Die Gleichung
z = ff | ax — y + vQ>x — y) |
ist Integra] von
de öäz pr , ce_ 1 d de _ , <fz ddr _
dy dx i \_dx d yj dxdy ‘ dx dy*
Schließlich darf nicht unerwähnt bleiben, daß Laplace auf dieExistenz trivialer Lösungen einer Differentialgleichung hingewiesenhat, die nicht als Integrale zu betrachten sind. 3 ) So wird
uMcx + ieN?y = 0
durch g = 0 erfüllt; aber die „eigentliche“ Lösung muß die Gleichung< y = pdx erfüllen, wo p eine Funktion von x und y ist. Eine ge-naue Definition, was als Integral zu gelten hat imd was nicht, läßtsich bekanntermaßen bei Verwendung Monge-Liescher Vorstellungenin besonders anschaulicher Weise geben.
Von größter Wichtigkeit sind die Untersuchungen, die sich aufdie Theorie der singulären Integrale beziehen. Clairaut 4 ) undEuler fanden auf diesem Gebiet zunächst keine Nachfolger; dieserleitet 1768 für Gleichungen 1. Ordnung ein allerdings wenig allge-
o ü o o c*
meines Kriterium ab, durch das ein partikuläres Integral von einemsingulären unterschieden werden kann, ohne daß das vollständige In-tegral der Gleichung bekannt ist. D’Alembert fügt in einer Ab-handlung aus dem Jahre 1769 5 ) wenig Neues hinzu; höchstens kannman sagen, daß er Eulers Überlegung strenger und schärfer macht.Erst Laplace faßt 1772 das Problem bedeutend weiter. Er verlangtein für Gleichungen beliebiger Ordnung mit beliebiger Variabeinzahlgeltendes, dem Euler sehen ähnliches Kriterium; außerdem stellt erdie Forderung, es sollen sämtliche singuläre Integrale einer gegebenenDifferentialgleichung angegeben werden. Durch Laplaces Arbeitangeregt, nimmt endlich Lagrange 1774 das Problem von neuemvor; er erkennt als erster die wahre Natur des singulären Integralsund seinen Zusammenhang mit dem vollständigen Integral. Die dar-
') Memoires presentes par divers Savans 1773 177ö), p. 322 Auf eineähnliche Form des Integrals bei Monge Memoires de Turin , t. V, p. 52) kommtTrembley eingehend zu sprechen in Nova Acta Academiae Petropolitanae.t. XIII, 1795/96 il802), p. 13d. *) Wegen der Schreibweise vgl. S. 1012 u. 1019.
) Histoire de l’Academie des Sciences 1772, part. 1 (1775), p. 344. *) Ygl.
diese Yorl., III*, S. 889. 5 ) Histoire de l’Academie des Sciences 1769 (1772 ,
p. 85 ff.
57