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Abschnitt XX VII.

auf gegründete Methode zur Bestimmung der singulären Integraledurch Elimination der Konstanten der Integralgleichung ist derLaplaceschen Herleitung an Eleganz, Sicherheit und Leichtigkeitder Handhabung bedeutend überlegen und hat deshalb das ältereVerfahren vollständig verdrängt. Die zweite, schon von Clairautund Euler geübte Methode wiederholter Differentiation, die nichtvom Integral, sondern von der Differentialgleichung ausgeht, besitztLagrange ebenfalls, auch gibt er erweiterte Kriterien. Endlich be-handelt er die geometrische Deutung des singulären Integrals alsEnveloppe einer Kurvenschar 1 ), und ist der Ansicht, daß im allge-meinen ein ] singuläres] Integral vorhanden ist. Daß ein Ort derSpitzen oder anderer Singularitäten auftreten kann, ist ihm dabeientgangen; ebensowenig weiß er, daß es Integrale gibt, die zugleichpartikulär und singulär sind, d. h. geometrisch gesprochen, daß einZweig der Enveloppe zu den Kurven der Schar gehören kann. 1774dehnt Lagrange seine Untersuchungen auf Differentialgleichungenhöherer Ordnung und partielle Differentialgleichungen aus; endlichsind noch die d Arbeiten von Trembley 2 ) und Legendre zu er-wähnen.

Wir können uns nicht versagen, näher auf die Aufsätze vonEuler, Laplace, Lagrange und Legendre einzugehen. Euler sucht 3 ), wie schon erwähnt, ein Kriterium, das gestattet, ein singu-läres oder partikuläres gegebenes Integral als solches zu erkennen.In gewohnter Weise geht er allmählich von einfachen Fällen zuschwierigeren über. So kommt er unter der Voraussetzung, das voll-ständige Integral laute f/ = C P, zu dem Schlüsse, daß L für x = anicht unendlich werden darf, wenn x = a partikuläres und nicht sin-

guläres Integral von dy = j sein soll. Es ist dabei natürlich an-genommen, daß x = u die letztgenannte Differentialgleichung befrie-digt, Er untersucht noch weitere Fälle, wie

, Pdx , , Pdx

</)/= und «(/ = », ,

1 ,s y N ”'

und bildet an ihnen folgende Untersuchungsmethode heraus 4 ): Sei

*) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 38. Die Deutung des singulären Inte-grals partieller Differentialgleichungen: ebenda, p. 67. *) Memoires de l’aca-

deinie royale des Sciences de Turin 1790 91. Ferner Xouveaux Memoires del’Academie de Berlin 1792/93 (1798t, p. 341—416. Vgl. unten S. 908. 3 ) In-

stitutiones calculi integralis, vol. I, p. 393. 4 1 Ebenda, p. 402.