Totale und partielle Differentialgleichungen.

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wo Q für x = a verschwindet, P aber nicht. Man setze x = a ± cu,und ,,betrachte co als unendlich klein“, so wird Q die Form Eco* an-nehmen: x = a wird dann immer partikuläres Integral sein, außerwenn A < 1. Als Beispiel gibt er:

, dx

< 1 . 1 / =

1 ( 1 + coa ?)

wo sich der Nenner für x = a — co bei sehr kleinem co auf

«| c

reduziert, wie durch Reihenentwicklung unmittelbar zu sehen ist.Hier ist A = 1; hätte man aber statt der Quadratwurzel eine dritteW urzel im Nenner, so wäre offenbar A < 1. Im folgenden gibtEuler die naturgemäße Erweiterung dieser Regel für Differential-gleichungen der Form = ,l J !, wo X und Y Funktionen von x

n o Al’

bzw. y allein sind, und geht endlich 1 ! zu dein Fall Pdx = Qdy Uber,wo P und Q irgendwelche Funktionen von x und y sind. DieserGleichung genüge die endliche Auflösung y = X , wo X eine Funk-tion von x allein. Euler sagt, man ersetze in der gegebenen Diffe

rentialgleichung u durch X -j- co und bestimme für unendlich

kleine co. Es wird ^ = Sdx werden, und y = X ist ein Integral

Cö

oder nicht, je nachdem A 1 oder A < 1. Nach dieser Ausdrucks-weise sieht es fast so aus, als ob Euler die singulären Integralenicht als Integrale gelten lassen wollte; Namen hat er keinen dafür.Die oben beschriebene Methode führt z. B. bei

ndy — adx — dx\(yy — xx),

wo A = x, auf

a' l “=dx]/2x. d. i. A=~

1 "

Hieran knüpft Euler die weitere Bemerkung 3 !: das Integral der ge-gebenen Differentialgleichung ist:

2a ] co == (' + y x} 2x ,

wo m nach Voraussetzung unendlich klein ist. Es wird aber, heißtes weiter, wie man auch die Konstante C bestimmen mag, co einenendlichen Wert erhalten, woraus notwendig folgt, daß die Gleichungy = x kein Integral sein kann.

Auf diese Abhandlung Eulers weist Laplace hin und sagt, sie

Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 40S. s ) Ebenda, p. 411.