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Abschnitt XX VII.

habe den Anstoß zu seinen eigenen Untersuchungen gegeben 1 ;. Zu-nächst schafft er das, was Euler fehlt, nämlich eine besondere Benennungfür die singulären Integrale. Er definiert allgemein als „solution “ 2 1jede Gleichung, die eine gegebene Differentialgleichung befriedigt, be-hält aber dann diesen Ausdruck mit dem Beiwort „particuliere'-speziell für unser singuläres Integral und spricht im Gegensatz dazuvon einem „integrale particuliere“ bzw. „generale“ (auch „resolutioncomplete“). Sodann stellt sich Laplace die Aufgabe: Eine Lösungvon ty = pdx ist bekannt; man soll feststellen, ob sie im allgemeinenIntegral enthalten ist oder nicht, ohne dieses zu kennen. Laplace<reht von der geometrischen Versinnlichung der Integralgleichung

aus. y = 0 sei die gegebene Lösung,tp = 0 das unbekannte vollständigeIntegral. Man konstruiere die KurveHCM mit der Gleichung y = 0 unddiejenige Kurve q> = 0, welchedurch einen gegebenen Punkt C vonHCM geht Heißt sie LCN, soist also LCN Repräsentantin einespartikulären Integrals. Ist nuny = 0 im allgemeinen Integral ent-halten, so muß, behauptet La-place, HCM Punkt für Punktmit LCN zusammenfallen. Indem er jetzt die Ordinaten von LjCNmit Y, die zugehörigen Differentiale mit d, die Ordinaten von HCMmit y, die Differentiale mit d bezeichnet und Y und y für die Um-gebung des Punktes C nach der Taylorschen Reihe entwickelt, er-hält er als Bedingung für das Zusammenfallen beider Kurven, d i.als Bedingung dafür, daß HCM, also y = 0, ein partikuläres Integralist, folgendes System von Gleichungen:

Sy _ dy S-y d 1 y S 3 y d a y

Sx cx’ Sx- dx ,! Sx 3 dx 3

usw. Diese Relationen sind zunächst nur für den Punkt C, d. i. für ein be-stimmtes Wertepaar x, y abgeleitet; nimmt man aber einen anderenPunkt C der Kurve HCM, deren Zugehörigkeit zu den partikulären

*) Histoire de l’Academie des Sciences 1772, part. 1 .1775), p. 343. Vgl.auch die Zusätze p. 641 und die Histoire desselben Jahres, p. 67 fl'. Ferner einebereits früher veröffentlichte Notiz am Schlüsse eines Aufsatzes über Wahrschein-lichkeitsrechnung in den Memoires presentes par divers Savans, t. VI (1774),p. 654. Daselbst ist noch auf einen Aufsatz in den Actes de Leipsic für 1771hingewiesen, der indessen nach Laplaces eigenem Zugeständnis Fehlerhaftesenthält. *) Histoire de l’Academie des Sciences 1772, part. 1 (1775),

p. 344.