Totale und partielle Differentialgleichungen.

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oder singulären Kurven in Frage steht, und legt durch (’’ die ent-sprechende partikuläre Kurve 1 ), so erhält man dieselben Bedingungen;demnach müssen letztere, wenn HCM ein partikuläres Integral dar-stellen soll, für jedes x gütig sein.

Nun lassen sich aber die o -Derivierten aus der gegebenen Diffe-rentialgleichung leicht bilden; man erhält nämlich der Reihe nach

O o '

60 + ©^ iisw -*) ;

p ist hierbei eine gegebene Funktion von x und y. Andererseitskönnen auch die ö-Derivierten aus der bekannten Gleichung der KurveHCM erhalten werden.

Laplaee bemerkt sodann, daß natürlich die Gleichung

d .'/ = cy_

fi x dx

von selbst schon erfüllt ist; hierauf geht er zu subtileren Unter-suchungen über, deren Gang und Ergebnisse hier nur kurz angedeutetwerden können. Er formt zunächst die ursprüngliche Differential-gleichung so um, daß der Buchstabe p der gegebenen Integralgleichungp = 0 darin auftritt, und erhält schließlich die Gleichungen:

cp = u" • In x

oder unter gewissen Voraussetzungen

p“x —

cx + cy.

wo h immer endlich, solange p = 0. Diese Gleichung gibt er alsKriterium für den Charakter von u = 0: im Falle « 1 handelt es

sich um ein partikuläres, im Falle n < 1 um ein singuläres Integral.So liefert die Gleichung

O

dy _ —x

mit dem Integral

unschwer

' x y — y(xx -y yy — <***)u = xx -+- yy — au = 0

p"q =

X

y — y(xT + yy — aa)

X

y

u ■

f *

L yy — yy<xx + yy -

ua)

]

*) Man beachte, daß Laplaee nur immer einzelne Integralkurveu LCNund nie die ganze Schar ins Auge faßt, was hin wahrscheinlich zu tieferer Ein-sicht in das Wesen der singulären Lösungen geführt hätte. *1 Die Klammernbedeuten, wie immer, partielle Differentiation.