890
Abschnitt XXVII.
Ua « = ^-<1, so ist das Integral ein singuläres. Die ganze Dar-stellung hat vor der Euler scheu den Vorzug, daß sie nicht mitbloßen Worten geschildert, beschrieben, sondern mit den Symbolenp, y, d usw. wirklich rechnerisch durchgeführt ist. Beide Gedanken-gänge betonen in gleicher Weise das Endlichbleiben oder Uuendlich-werden gewisser im Lauf der Untersuchung auftretender Ausdrücke.Im folgenden 1 ) zeigt Laplace, daß y, wenn y = 0 ein singuläresIntegral von oy = pcx sein soll, gemeinschaftlicher Faktor von
ist. Dieses Theorem verwertet er zur Bestimmung der singulärenIntegrale, wenn nur die Differentialgleichung gegeben ist. Er behan-delt speziell den Fall, daß p eine Funktion von x oder y allein ist.Endlich geht Laplace zu Differentialgleichungen 2. Ordnung undzu solchen mit ff Variabein über, welche die Integrabilitätsbedingungenerfüllen. Als Kriterium für die Natur eines Integrals y = 0 derGleichung <1 z = pdx -f- qdy gibt er die Regel: man bilde
je nachdem der kleinere der beiden Exponenten n und n ^ 1 oder< 1 ist, hat man ein partikuläres oder singuläres Integral vor sich. 2 )
Lagrange gibt zu Beginn seiner Arbeit 8 ) einen kurzen ge-schichtlichen Überblick über die Theorie der singulären Lösungen.Er verweist auf Eulers Mechanik 4 ) und Integralrechnung, auf d’Alem-bert, Condorcet und besonders Laplace. Er definiert sodann inte-grale particuliere als unser singuläres Integral und verlangt ausdrück-lich, daß es nicht durch Spezialisierung aus dem vollständigen Inte-gral erhalten werde. 5 ) Dann betrachtet er, in welcher Weise eineIntegralgleichung V(x,y,a) = 0, wo a die Integrationskonstante be-deutet, einer Differentialgleichung
x (
x, fl
d V\
’ dx)
0
Genüge leisten kann, m. a. W. wie die Differentialgleichung aus der