Totale und partielle Differentialgleichungen.

891

Integralgleichung entstehen könne. Die Gleichung I' = 0 gibt durchDifferentiation, sagt Lagrange, eine Gleichung

dy = p(x, fl, <i)dx,

und die Gleichung Z = 0 folgt hieraus und aus l'=Ü durch Elimi-nation von a. Hierbei ist der Wert von a vollkommen gleich giltig.Das Resultat der Elimination wird immer dasselbe, nämlich Z — 0,bleiben, ob a konstant oder variabel ist, so lange nur die beiden Eli-minationsgleichungen r=0 und dy = pdx heißen. Faßt man aberden Fall eines variabeln a ins Auge 1 ), so erhält man aus F = 0 dieGleichung dy — pdx -f- qda, wo p und q Funktionen von x, y und a-sind. Letztere Gleichung kann sich aber bei variablem a nur dannauf dy = pdx reduzieren, wenn q = 0 ist. Der Wert von a aus

, = q = G'i

berechnet und in V = 0 substituiert, wird ein singuläres Integralgeben. Desgleichen wird = 0 ein singuläres Integral liefern.

Lagrang? betrachtet auch den Fall, daß die Bestimmungsgleichungeufür a dieses a entweder nur in Verbindung mit Konstanten oderüberhaupt nicht enthalten; im ersten Fall, sagt er, haben wir keineigentlich singuläres Integral, im zweiten wird eine besondere Prü-fung notwendig sein. Den Fall a = ^ weist er als unbrauchbarzurück.

Nach dieser Voruntersuchung fragt er nach einer Methode, welchedie singulären Integrale ohne Kenntnis des vollständigen Integrals zufinden gestattet. Er weist zunächst darauf hin, daß die singulärenIntegrale einer Differentialgleichung Integrale der aus diesen abge-leiteten Differentialgleichungen nur unter besonderen Bedingungensind, was für die Integrale einer auf niedrigere Ordnung reduzierbarenDifferentialgleichung höherer Ordnung von großer Wichtigkeit ist.So hat z. B. die Gleichung xdx + ydy — dy} / 'x 2 + y 2 — b 2 = 0 einsinguläres Integral x 2 + y 2 — b 2 = 0; letzteres ist aber kein Integral derDifferentialgleichung 2. Ordnung xd-y — dydx = 0, von der jene Glei-chung 1. Ordnung erstes Integral ist. 3 ) Lagrange zeigt dann, daß,wenn die erwähnten Bedingungsgleichungen

Lagrange macht in der Bezeichnung totaler und partieller Ditfercntial-quotienten keinen Unterschied. ®) Schon Euler läßt den Parameter einer In-tegralgleichung nachträglich variieren (vgl. S. 925). ®) Diese etwas ungewöhn-

liche Form erhält man aus dem ersten Integral, wie es sich zunächst ergibt,bei Benutzung des vollständigen Integrals.