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Abschnitt XXVII.

A, J = o- ,r '! > = <). ,,a y = ().

da ’ dxda ’ dx-da '

iund analog, wenn x mit // vertauscht wirdj alle bis ins Unendlicheerfüllt sind, d. h. wenn das in Frage kommende Integral sämtlicheaus Z = 0 durch Differentiation hervorgehenden Gleichungen befriedigtdieses Integral kein singuläres, sondern nur ein partikuläres Integralist. Für den Fall eines singulären Integrals dürfen also diese Gleichungen nur bis zu einer bestimmten erfüllt sein; wie bei Laplaceist der Charakter eines partikulären Integrals von unendlich vielenBedingungsgleichungen abhängig gemacht.

Diese Bemerkung dient nun als Grundlage zu der folgendenUntersuchung, welche die Bestimmung der singulären Integrale un-mittelbar aus der gegebenen Differentialgleichung bezweckt. Lagrange

~ ~ n o o o

f/ Z

sagt: da Z die Größe a nicht enthält, so ist zunächst , = 0. Nun

^ 7 da

kann aber das in Z auftretende // gemäß der Gleichung U=U als

Funktion von x und // angesehen werden; es ist demnach

•l* = , <r-y

da ' dxda

+ B-.Ü = 0 .

iI a

Handelt es sich jetzt um ein singuläres Integral, so ist fernerhin

und es ergibt sich

dy

da

= °-

A

d“y

dxda

= o,

da B unter der Voraussetzung, daß Z eine ganze rationale Funktion

o* o

fl /IJ

von x und / ist, nicht unendlich werden kann. Für den Fall, daßdx 7 7

fliy _ _

dvda ~ ^ betrachtet Lagrange die höheren Ableitungen. Er

kommt zu dem Ergebnis, daß dann A usw. gleich Null sein

^ ’ dx’da °

müssen. Da aber das Nullsein sämtlicher derivierten ^, . *{,••■

da’ dxda’

nach dem Obigen den Charakter eines partikulären Integrals anzeigenwürde, so folgert Lagrange. daß für ein singuläres Integral A - U

j r*< . o o

sein muß. Da aber

dZ = A ■ d d J' U Bdn + Vdx = 0,dx ■ ’

so folgt

Jldff + ('dx = 0;

d. h. im Falle des singulären Integrals muß der aus Z — 0 abgeleitete

oh o

Wert