Totale und partielle Differentialgleichungen.

89:-i

<r-<i

dx 2

B d / + v

d x

0

0

werden, und diese Gleichung wird umgekehrt als Bedingung für dasAuftreten eines singulären Integrals hingestellt. Sie liefert zwei Glei-chungen, die mit Z = 0 simultan bestehen müssen.

Nach der geometrischen Deutung des singulären Integrals alsEnveloppe wendet sich Lagrange zu den totalen Differentialglei-chungen 2. Ordnung. Lautet die Integralgleichung wieder F = 0, woV eine Funktion von x, y und den Integrationskonstanten a und bist, so faßt Lagrange die Größe b zunächst als willkürliche Funktionvon a auf. Die Bedingungen für das Vorhandensein eines singulären

Integrals ^ = 0 und f rf = 0 verwandeln sich dann in

° da dxda

1 .

dy dy dhda dh ' da

0

und

dxda

d*y dh<lxdb d a

Durch Elimination von ergibt sich

.;> ,l y d-y _ (ly_ d*y =

da dxdh dh dxda

Es ist ferner

dy = pdx + da y{ db,

1 da db

folglich

3. dy—pdx = 0.

Dazu kommt noch die Integralgleichung

4. r=o.

Aus diesen vier Gleichungen sind a, b und zu eliminieren. Durch

° ’ da

Vertauschung von x und y ergibt sich eine Reihe analoger Glei-chungen.

Später 1 ) gibt dann Lagrange eine Methode an, aus einem erstenIntegral der gegebenen Differentialgleichung 2. Ordnung, also auseiner Differentialgleichung 1. Ordnung das singuläre Integral der ur-sprünglichen Gleichung zu ermitteln, die dem Verfahren, das singuläreIntegral einer Differentialgleichung 1. Ordnung aus deren endlichemIntegral herzuleiten, völlig analog ist. Die Methode läßt sich aufDifferentialgleichungen beliebig hoher Ordnung übertragen. 2 )

Wichtiger sind die Untersuchungen über die singulären Integralepartieller Differentialgleichungen. Die zu einer Integralgleichung

) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 53.

2 ) Ebenda, p. 51).