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Abschnitt XXVII.

U(.r, //, a, b) = I»

gehörige partielle Differentialgleichung Z = 0 entsteht nämlich durchElimination von a und h aus den Gleichungen

V = <1;

dzd x

-p =

wo p und q Funktionen von x, y, z, u und b sind. Das Resultatdieser Elimination wird dasselbe sein, ob a und b konstant sind odernicht, wenn nur die drei Gleichungen, aus denen a und b eliminiertwerden sollen, dieselben sind. Dazu ist aber im Fall variabler aund h das Bestehen der Gleichung rda + sdb = 0 notwendig, wiesich aus dz = pdx + qdy + rda + sdb ergibt. Die einfachste Manier,dieser Gleichung Genüge zu leisten, sagt Lagrange, besteht darin,daß man getrennt r = 0 und .■> = 0 setzt. Während Lagrange so-eben r und s für sich gleich Null setzte, leistet er der Gleichungrda 4- sdb = 0 im folgenden allgemeiner dadurch Genüge, daß er dieExistenz einer Relation zwischen a und b annimmt und demzufolgeb = <p{a) setzt. So wird er, von der Theorie der singulären Integraleausgehend, wieder zum allgemeinen Integral geführt. Um das singu-läre Integral aus der Differentialgleichung selbst zu ermitteln, gibtLagrange 1 ) folgende Regel: Ditt'erentiiert man die Gleichung Z — 0,so erhält man

Md ( \ Z + Xd d . z + Pdx + Ldv = 0,

dx dy 7

wo M, X, L ganze Funktionen von x, il, z, , dZ sind, denn

> ! > n ’ ’ y X ’ fl y ’

dz kann vermöge der Relation

dz = ^ dx + — dy

'Ix dy ■

immer eliminiert werden. Man setze jetzt M, X, P, L jedes für sich

gleich Null, was mit Z = 0 nach Elimination von und dz dreio ’ dx dy

Gleichungen in x, y, z gibt, die gleichzeitig statthaben müssen Be-sitzen sie einen gemeinschaftlichen Faktor, so ist dieser als das ge-suchte singuläre Integral anzusehen. Reduziert sich dZ auf

, , dz ,Ad Tx^

Bd Jz = 0,

d y 7

so hat mau nur die drei Gleichungen /f=0, .1 = 0, B= 0, dieimmer ein singuläres Integral liefern. Durch Besprechung diesesFalles kommt er zu der Einsicht, daß dann das vollständige Integral

1 Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 71.