Totale und partielle Differentialgleichungen.Z = ax + bg + /'(«, b)
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und die gegebene Differentialgleichung
dzd x
+ !l
dz
dy
dz dz \dx’ dy)
sein muß. Auf die Ähnlichkeit mit der Clairautschen totalen Glei-chung ist bei Lagrange nicht hingewiesen.
Weiterhin 1 ) zeigt Lagrange, daß das singuläre Integral nichtim allgemeinen Integral enthalten ist, an einem speziellen, in alleLehrbücher übergegangenen Beispiel und gebt dann auf die geome-trische Interpretation der Integrale partieller Differentialgleichungenein. Die durch das singuläre Integral dargestellte Fläche, sagt er,berührt alle im vollständigen Integral enthaltenen Flächen; die durchdas allgemeine Integral bei Wahl eines bestimmten Wertes der will-kürlichen Funktion qc dargestellte Fläche berührt nur jene Flächendes vollständigen Integrals, welche bei der speziellen Annahme b = qp(«)herausgegriffen werden.
Auch über die singulären Integrale partieller Gleichungen 2. Ord-nung macht Lagrange einige Angaben; um das singuläre Integralaus dem vollständigen Integral F=0 zu linden, gibt er folgendeRegel an-): Man lasse in den Gleichungen
r — 0;
dz _ dz
dx ^' dy
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die fünf Integrationskonstanten a, b, r, g, h variieren und halte wäh-renddessen x, >i und z konstant, setze <1V, dp und dq gleich Nullund eliminiere aus diesen drei Gleichungen zwei der fünf Differen-tiale da, db, de, dg, dh. Endlich setze man in der Eliminations-gleichung die Koeffizienten der übrigen drei Differentiale gleich Null.Bin Kombination mit den oben angeführten drei Gleichungen
F = 0; f — p = " und ~ — 7 = 0’ dx 1 dy
erhält man durch Elimination der Integrationskonstauten a, b, c, g, heine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung, die als singuläres Inte-gral der gegebenen Gleichung 2. Ordnung aufzufassen ist. Ist hin-gegen die Differentialgleichung allein, nicht aber ihr Integral gegeben,so bilde man das vollständige Differential der gegebenen Gleichungin der Form
Md ~ + Xd — + l'd f\ + Qdx -+- Itdi/ = 0d.x- dy- dxdy c
*) Oeuvres de Lagrange. t. IV, p. 79.
-) Ebenda, p. 91.